V. Задачи с параметрами
1. Найдите все
значения параметра а,
при которых неравенство
не выполняется ни при каком действительном
значении х.
2. Найдите все
значения параметра а,
при которых неравенство:
выполняется при всех действительных
значениях х.
3. При каких значениях
а
уравнение
имеет один корень?
4. При каких значениях
параметра а
уравнение
имеет один корень?
5. При каких значениях
параметра m
неравенство
имеет хотя бы одно решение?
6. При каких значениях
параметра n
решением неравенства
является любое число?
7. Найдите все
значения параметра а,
при которых неравенство:
не имеет решений.
8. При каких значениях
параметра b
уравнение
имеет два отрицательных корня?
9. Постройте график
функции
и установите количество корней уравнения
в зависимости от параметра с.
10. Найдите все
значения параметра р,
при которых уравнение
имеет три корня.
11. При каких
значениях параметра р
корни уравнения
принадлежат промежутку [–1; 3]?
12. При каких
значениях параметра m
уравнение
имеет два различных корня?
13. При каких
значениях а
система уравнений
имеет три решения?
14. Определите, при
каких значениях параметра один корень
уравнения
больше
,
а другой меньше
.
15. При каких
значениях параметра b
уравнение
имеет два различных положительных
корня?
VI. Планиметрия
1. В равнобедренном
треугольнике ABC
(AB
= BC
> AC)
проведены высота AH
и медиана AM.
Найдите
,
если отношение площади
к площади
равно
.
2. Точки К и М делят диагональ BD трапеции ABCD на три равные части. Площадь треугольника СКМ равна 1. Найдите площадь трапеции, если ее основание AD в 2 раза длиннее ВС.
3. Стороны параллелограмма 13 и 5. Одна из его диагоналей 12. Найдите расстояние между прямыми, содержащими меньшие стороны параллелограмма.
4. Периметр ромба 52 см. Диагональ ромба отсекает от него треугольник периметра 36 см. Найдите высоту ромба.
5. Биссектриса АК параллелограмма ABCD пересекает диагональ BD в точке Р такой, что BP : PD = 2 : 7. В каком отношении точка К делит сторону ВС?
6. Две хорды АВ и CD пересекаются в точке М так, что АМ = 6, МВ = 4, а DM на 10 больше, чем МС. Найдите длину хорды DC и радиус окружности, если расстояние от центра окружности до точки М равно 5.
7. В прямоугольнике ABCD точка К делит диагональ BD в отношении 2 : 1, считая от вершины В. Точка Е – середина стороны CD. Используя метод координат, докажите, что точка К принадлежит отрезку АЕ и что делит его в отношении 1 : 2.
8. В треугольнике
ABC
АС = 3, ВС
= 6,
.
Точка Е
делит сторону АВ
в отношении 1 : 2, считая от вершины А.
Используя метод векторов, найдите
отрезок СЕ.
9. В равнобедренную трапецию, верхнее основание которой в два раза меньше ее высоты, вписана окружность радиусом 3. найдите площадь трапеции.
10. Сторона АВ
треугольника АВС
равна
.
На стороне ВС
отмечена точка К
так, что
.
Найдите площадь треугольника АВС,
если ВК
= 9, КС
= 4.
11. Трапеция MNPQ
вписана в окружность. Найдите среднюю
линию трапеции, если ее меньшее основание
MN
равно 24,
,
.
12. На диагонали BD
прямоугольника ABCD
взята точка N
так, что BN
: ND
= 3 : 2. Диагонали прямоугольника пересекаются
в точке О.
Найдите площадь четырехугольника ABCN,
если АС
= 10 и
.
13. Около окружности диаметром 15 описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17. Найдите длину большего основания трапеции.
14. Найдите радиус
окружности, описанной около
,
если MN
= 5, NP
= 16, NA
= 4 и NA
– высота
.
15. Найдите площадь
прямоугольного треугольника, если длина
гипотенузы равна
,
а длина медианы меньшего острого угла
равна 5.