Пример решения
Исходные данные:
,
,
,
,
,
,
.
Расчетный случай относится к классу задач теплопроводности цилиндрической стенки при граничных условиях 3 рода. Это процесс теплопередачи от теплоносителя в окружающую среду через стенку трубопровода и теплоизоляцию.
Расчет теплоты, передаваемой в окружающую среду, можно выполнить по зависимости [1]
.
(3.1)
Линейная плотность теплового потока [1]
.
(3.2)
Из
(3.2) следует, что для определения теплового
потока необходимо знать коэффициенты
теплоотдачи
.
Для определения коэффициента теплоотдачи
надо использовать критериальное
уравнение для теплоотдачи в трубах.
Определим режим течения в трубопроводе
[1]
,
(3.3)
где
средняя (расходная) скорость течения в
трубопроводе;
характерный размер (диаметр трубопровода);
кинематический коэффициент вязкости
воды при заданной температуре.
Средняя скорость воды определяется расходом и диаметром трубопровода из зависимости расхода потока
,
(3.4)
где
плотность воды при заданной температуре;
площадь проходного сечения трубопровода.
Принимая плотность воды при заданной температуре из табл. 3.2, на основании (3.4) будем иметь
.
Тогда число Рейнольдса
.
Поскольку полученное
значение существенно больше критического,
используем критериальное уравнение
[1] для турбулентного режима течения,
при
:
,
(3.5)
где
осредненное значение числа Нуссельта
для всей поверхности теплообмена;
число Прандтля при температуре среды;
число Прандтля при температуре стенки.
В этом критериальном
уравнении теплофизические характеристики
принимаются при температуре среды
(табл. 3.2) и в качестве характерного
размера – внутренний диаметр трубопровода.
Учитывая высокую интенсивность
теплоотдачи от воды к стенке трубопровода,
примем в первом приближении температуру
стенки
с дальнейшим ее уточнением. Подставляя
численные значения в (3.5), получим
.
Тогда среднее значение коэффициента теплоотдачи
.
Прямое определение
коэффициента теплоотдачи к окружающей
среде
невозможно, так как в число Грасгофа,
входящее в критериальное уравнение для
теплоотдачи при свободной конвекции,
входит температурный напор между
температурой поверхности теплоизоляции
и окружающей средой:
,
(3.6)
где
ускорение свободного падения;
коэффициент объемного расширения
воздуха;
характерный размер (для горизонтальных
труб – наружный диаметр).
В число Грасгофа
входит неизвестная температура
,
для ее определения необходимо еще одно
уравнение. Таким уравнением может быть
уравнение теплоотдачи к окружающей
среде, но оно содержит еще одно неизвестное
.
Целесообразнее составить систему двух уравнений, выражающих линейные плотности теплового потока, подводимого к поверхности теплоизоляции от горячего теплоносителя и отводимого в окружающую среду:
,
(3.7)
.
(3.8)
Равенство тепловых потоков (3.7) и (3.8) физически выражает условие стационарного процесса теплопередачи, когда подводимая к поверхности теплоизоляции в процессе теплопроводности теплота равна теплоте, отводимой в процессе теплоотдачи в окружающую среду. Неизвестный коэффициент теплоотдачи в уравнении (3.8) можно выразить из критериального уравнения для свободной конвекции [1]
.
(3.9)
В этом критериальном
уравнении теплофизические характеристики
принимаются при температуре окружающей
среды
по данным табл. 3.3. Для предварительной
оценки примем температуру
и, подставляя численные значения,
определим величину произведения
.
При этом значении
из [1] коэффициенты уравнения (3.9)
и
,
(
).
Подставим коэффициенты в (3.9) и распишем
числа подобия:
.
(3.10)
Отсюда
.
(3.11)
Подставляя (3.11) в (3.8), получим
.
(3.12)
В уравнениях (3.12)
и (3.7) два неизвестных: линейная плотность
теплового потока
и температура изоляции
.
Решение этой системы уравнений можно
выполнить аналитически и графически.
Рассмотрим графическое решение. Для
этого необходимо задаться интервалом
температур
и численными значениями температуры,
рассчитать по уравнениям (3.12) и (3.7)
соответствующие значения теплового
потока. Построив на графике эти данные,
можно определить точку пересечения,
которая будет решением системы уравнений.
Пример такого расчета показан на рис.
3.2.
Рис. 3.2. Графическое решение системы уравнений
Для расчетных
условий линейная плотность теплового
потока составляет
и
.
Проверим принятые ранее приближенные
значения температур. Определим
произведение
для полученного значения
.
При этом значении не выходит за пределы диапазона, в котором работают принятые коэффициенты критериального уравнения, поэтому уточненный расчет выполнять не нужно.
Теперь уточним
принятую в начале расчета температуру
.
Из уравнения теплоотдачи горячего
теплоносителя
(3.13)
Выразим из (3.13 ) температуру стенки и рассчитаем ее:
.
Полученное значение отличается от принятого ранее
,
что является
допустимым в численных теплотехнических
расчетах (
),
поэтому дальнейшее уточнение
выполнять не нужно.
Найдем общие потери теплоты для трубопровода длиной :
.
Определим изменение
температуры горячего теплоносителя за
счет тепловых потерь из уравнения
теплового баланса (примем среднюю
массовую удельную теплоемкость воды
)
.
Определим среднюю температуру горячего теплоносителя при прохождении по всей длине трубопровода
.
Совершенно очевидно, что среднее значение температуры отличается от входной температуры (по которой принимались теплофизические свойства воды) меньше, чем 5 %, поэтому уточненный расчет выполнять не нужно.
Ответ. Температура
внутренней поверхности слоя теплоизоляции
,
температура наружной поверхности слоя
теплоизоляции
,
тепловые потери
.