Алгебра-геометрия 01.09.12-08.11.12

Матрица 1

Определитель матрицы. 1

Свойства определителей. 3

Свойства обратной матрицы 5

Способы нахождения обратной матрицы 6

Точные (прямые) методы 6

Метод Гаусса—Жордана 6

С помощью матрицы алгебраических дополнений 6

Использование LU/LUP-разложения 6

Итерационные методы 7

Методы Шульца 7

Оценка погрешности 7

Выбор начального приближения 7

Примеры 8

Матрица 2х2 8

Транспонирование. 8

Системы линейных уравнений 9

Ранг матрицы 23

Матрица

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы^[1], в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Определитель матрицы.

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).

Определитель (или детерминант¹⁾) определяется для произвольной квадратной матрицы  , и представляет из себя полином от всех ее элементов. Обозначается — либо  , либо — в развернутом виде²⁾ —

(матрица ограничивается вертикальными чертами³⁾). Имея в виду порядок матрицы  , о ее определителе говорят как об определителе порядка  .

Для  :

для  :

для  :

для   формула становится громоздкой.

Главная цель введения понятия определителя: с помощью этой функции устанавливаются условия существования от нескольких переменных; более того, эта функция позволяет компактно записать решение. Определитель имеет также ряд геометрических приложений.

Введем теперь определитель произвольного порядка  .

Упорядоченная пара различных натуральных чисел   образует инверсию (или нарушение порядка), если  . Будем обозначать число инверсий в паре   через  . Таким образом

Число инверсий в последовательности различных натуральных чисел   определяется следующим образом:

П

Пример.

?

Показать, что  .

Определителем (или детерминантом) матрицы

называется величина

где сумма распространяется на всевозможные перестановки   элементов  . В общем случае сумма, определяющая определитель порядка  , содержит   слагаемых, каждое из которых представляет произведение   элементов определителя, взятых по одному из каждой строки определителя и из каждого его столбца (т.е. после того, как в произведение вставляется элемент   больше в это же произведение не берется ни одного элемента из  -й строки и  -го столбца). Знак у произведения определяется по указанному выше правилу и можно доказать, что половина слагаемых в сумме будет иметь положительный знак, а другая половина — отрицательный.

Свойства определителей.

СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

.

СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например,

.

СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например,

.

СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

.

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.

Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.

СВОЙСТВО 9. Определитель

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

,  ,

,  ,

,  .

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдо обратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицы

• , где   обозначает определитель.

• для любых двух обратимых матриц   и  .

• где   обозначает транспонированную матрицу.

• для любого коэффициента   .

• Если необходимо решить систему линейных уравнений  , (b — ненулевой вектор) где   — искомый вектор, и если   существует, то  . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Способы нахождения обратной матрицы

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

Точные (прямые) методы

Метод Гаусса—Жордана

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A⁻¹.

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц   (трансвекциюили диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

.

.

Вторая матрица после применения всех операций станет равна  , то есть будет искомой. Сложность алгоритма —  .