35. Каноническое ур-е гиперболы. Фокус, эксцентриситет, директриса.

Фокусы гиперболы – две точки плоскости, таких, что модуль разности между точками пространства, описывающими гиперболу и фокусами есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

- каноническое уравнение гиперболы.

Эксцентриситет гиперболы – отношение С к А, С – половина расстояния между фокусами, А – действительная полуось гиперболы.

Директриса - прямая, лежащая в плоскости конического сечения и обладающая след св-вом: отношение расстояния от любо точки гиперболы до его фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы равно ее эксцентриситету.

36.Каноническое ур-е параболы. Фокус, директриса.

Фокус параболы – точка, описывающая середину расстояния между мн-вом точек, описывающих параболу и директрисой.

- каноническое ур-е параболы.

Директриса - прямая, лежащая в плоскости конического сечения и обладающая след св-вом: отношение расстояния от любо точки параболы до его фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы равно ее эксцентриситету.

37.Определение ограниченного (сверху,снизу) числового мн-ва.

{x} – ограниченное сверху, если сущ число М, для которого любой эл-т {х} выполняет неравенство

. М называют верхней гранью мн-ва х.

{х}- ограниченное снизу, если сущ m, для которого все эл-ты {x} выполняют неравенство . m – нижняя грань.

37(2). Определение точной верхней грани числового мн-ва.

M – точная верхняя грань {x}, если М x, и для любого Е>0 эл-т х1, принадлежащий {х} выполняет х1>M-Е.

38. Определение точной нижней грани числового мн-ва.

м – точная нижняя грань {x}, если м x и для любого Е>0 и х1, принадлежащего {х} выполняется х1<м+Е

39. Теорема о существовании точной верхней(нижней) грани числового мн-ва.

Если непустое мн-во Х ограничено сверху (снизу), то существует единственная точная верхняя (нижняя) грань этого мн-ва.

40.Определение ограниченной числовой последовательности.

Последовательность {Xn} называет ограниченной, если сущ такое A>0, что для любого n выполняется |Xn| А.

41. Определение неограниченной числовой последовательности.

{Xn} – неограниченная, если для любого А сущ хотя бы один номер n, для которого |Xn|>А.

42. Определение бесконечно малой последовательности.

{Xn} – бесконечно малая, если для любого Е>0 сущ такой номер N, что для всех n>N выполняется |Xn|<Е.

43. Определение бесконечно большой последовательности.

{Xn} – бесконечно большая, если для любого А сущ такой номер N, что для всех n>N выполняется |Xn|> A.

44. Определение монотонной последовательности.

Монотонные последовательности бывают:

1)Возрастающие. {Xn}- возрастающая, если для любого n выполняется Xn+1>Xn.

2)Неубывающие. {Xn}- неубывающая, если для любого n выполняется Xn+1 Xn.

3)Убывающие. {Xn}-убывающая, если для любого n выполняется Xn+1 < Xn.

4)Невозрастающие. {Xn}-невозрастающая, если для любого n выполняется Xn+1 Xn.

45. Определение предела числовой последовательности.

Предел числовой последовательности – число, в любой окрестности которого лежат все элементы последовательности, начиная с некоторого.

46.Теорема о пределах суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей.

Пусть a,b – пределы сходящихся последовательностей {Xn} и {Yn}. Тогда {Xn+Yn}, {Xn-Yn}, {Xn x Yn}, {Xn\Yn} (если Yn 0) сходятся, и

,

,

.

47. Теорема о пределе монотонной последовательности.

Монотонная ограниченная последовательность сходится. (хз больше ниче не нашел)

48.Теорема о переходе к пределу в неравенствах для последовательностей.

Если элементы сходящихся последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству Xn b (Xn b), то их предел A > b (A<b).

49.Теорема о промежуточной последовательности.

Пусть {Xn} {Zn} {Yn}.

{Xn} и {Yn} сходятся и lim Xn = lim Yn = a. Тогда {Zn} сходится и lim Zn = a.

50.Число e как предел числовой последовательности.

.

51. Определение ограниченной сверху (снизу) функции.

f(x) – ограниченная сверху на мн-ве Функция f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X, если  M(m) R  x X  f(x) M (f(x) m).

52. Неограниченная (сверху, снизу) ф-ция на мн-ве Х.

53., 54. Определение тонкой верхней грани на мн-ве Х.

Число M (m) называется точной верхней (точной нижней) гранью функции f(x) на множестве X, если выполнены следующие условия

" xО X Ю f(x)Ј M (f(x)і m);

" e >0 $ x₀О X: f(x₀)>M-e (f(x)<m+e)

55. Определение монотонной функции.

Пусть f:E ® R

Если для любых x₁, x₂ О E при x₁<x₂ выполняется f(x₁)<f(x₂) (f(x₁)>f(x₂)), то функция f(x) возрастающая (убывающая).

Если для любых x₁, x₂ О E при x₁<x₂ выполняется f(x₁)Ј f(x₂) (f(x₁)і f(x₂)), то функция f(x) неубывающая (невозрастающая).

56. Дать определение предела функции по Гейне и по Коши: Существует предел

Предел функции по Гейне. Число называется пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента , элементы которой отличны от , соответствующая последовательность сходится к числу .

Предел функции по Коши. Число называется пределом функции в точке , если для любого положительного числа найдётся положительное число , такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих условию справедливо неравенство .