Емпірична функція дискретного статистичного розподілу та її властивості.

Функція аргументу , що визначає відносну частоту події називається емпіричною функцією або комулятою.

Властивості функції :

1. 

2. де найменша варіанта варіаційного ряду

3. де найбільша варіанта варіаційного ряду

4. В інтервалах , для , функція є постійною функцією, яка дорівнює .

5. є неспадною функцією

6. є розривною функцією, з точками розриву

Числові характеристики дискретних статистичних розподілів.

Варіаційний ряд який задається дискретними статистичним розподілом:

має наступні числові характеристики:

Вибіркова середня величина , де

Відхилення варіант .

Сума всіх відхилень дорівнює нулю.

Модою дискретного статистичного розподілу називають варіанту, що має найбільшу частоту появи.

Мод може бути кілька. Коли мод , тоді відповідний статистичний розподіл називають модальним.

Медіаною дискретного статистичного розподілу називають варіанту, яка поділяє варіаційний ряд на дві частини, рівні за кількістю варіант.

Дисперсія вибірки

Середнє квадратичне відхилення

Розмах варіації , де найменша, найбільша варіанти варіаційного ряду.

Коефіцієнт варіації .

Графічне зображення варіаційних рядів:

варіаційна крива (полігон розподілення частот), графік комуляти.

Для більш наглядної уяви закономірностей варіювання ознак, варіаційні ряди зображуються у вигляді графіків. При побудові графіка варіаційного ряду на координатній площині відмічають точки і послідовно, у відповідності з індексами, з’єднують їх відрізками. Отримана ламана лінія називається варіаційною кривою або полігоном розподілення частот.

Статистична середня та її різновиди: степенева середня (середня арифметична, середня гармонічна, середня квадратична), середня геометрична. Зважені середні.

Приклади використання середніх.

Нехай та однозначні взаємно обернені функції, дослідні дані.

Статистичною середньою для дослідних даних називається число

У випадку якщо то статистична середня називається степеневою середньою. Формула для степеневої середньої має вигляд:

У випадку якщо то степенева середня називається середньою арифметичною. Формула для середньої арифметичної має вигляд:

У випадку якщо то степенева середня називається середньою гармонічною. Формула для середньої гармонічної має вигляд:

У випадку якщо то степенева середня називається середньою квадратичною. Формула для середньої квадратичної має вигляд:

Нехай , .

У цьому випадку .

Середня називається середньою геометричною.

ІНТЕРВАЛЬНІ СТАТИСТИЧНІ РОЗПОДІЛИ

Інтервальний статистичний розподіл вибірки та його побудова за дискретним статистичним розподілом, класові інтервали, формула Стерджеса,

ширина класового інтервалу(крок), частоти класових інтервалів.

Коли ознака варіює в широких межах, і кількість статистичних даних велика то, вихідні дані групують у так звані класові інтервали, які містять в собі дані які можна вважати близькими у відповідності з величиною вибірки та масштабами даних.

Кількість класових інтервалів визначається за формулою Стерджеса:

, де - ціла частина числа .

Оскільки в більшості випадків є степінь числа 10, то формулу Стерджеса записують також у вигляді: .

Ширину класового інтервалу (крок) визначають за формулою , де - максимальне значення варіюючої ознаки; - мінімальне значення варіюючої ознаки;

На практиці з метою збереження більш повної інформації про явище, що досліджується, побудова класових інтервалів, починається не з , а закінчується не , а визначається величинами (х початкове), (х кінцеве).

Розбиття на класові інтервали робиться для проміжку на відрізки довжина яких дорівнює кроку, тобто , .

Оскільки розширення проміжку до проміжку збільшує довжину першого на величину то фактична кількість класових інтервалів в практичних задачах є більшою на одинцю ніж за формулою Стерджеса.

Частотою класового інтервалу називають кількість елементів вибірки які попадають в цей інтервал. Частоту яка відповідає інтервалу позначають .

Інтервальним статистичним розподілом вибірки називають таблицю яка складається з двох рядків, в першому рядку вказують сукупність інтервалів, а в другому рядку сукупність відповідних їм частот.

Зауваження В більшості випадків числа , (які є довжинами відповідних інтервалів), є однаковими, але існують задачі в яких ці величини різні.