Урманчев В.І.

Лекційний матеріал з математичної статистики Предмет і задачі математичної статистики.

Математичною статистикою називається розділ математики, який займається розробкою методів отримання і обробки дослідних даних з метою вивчення закономірностей випадкових масових явищ.

Предметом математичної статистики є дослідження випадкових величин (випадкових подій, процесів) за результатами спостережень.

Зв’язуючою ланкою між теорією ймовірностей та математичною статистикою є граничні теореми теорії ймовірностей.

При цьому теорія ймовірностей виводить з математичної моделі властивості реального процесу, а математична статистика встановлює властивості математичної моделі базуючись на даних спостережень, які називають статистичними даними.

Типовими задачами математичної статистики є наступні:

1. Попередня обробка даних: їх впорядкування, групування, представлення у зручному для дослідження вигляді;

2. Оцінка на основі дослідів, ймовірнісних характеристик досліджуваного об’єкта (оцінка невідомої ймовірності, оцінка невідомої функції розподілу чи невідомих параметрів розподілу, оцінка математичного сподівання чи дисперсії і.т.п.)

3. Статистична перевірка гіпотез, тобто вирішення питання про узгодження результатів оцінювання з дослідними даними.

Статистичні сукупності. Генеральна і вибіркова сукупність.

Статистичною сукупністю називається множина відносно однорідних одиниць, об’єднаних для спільного вивчення в одну групу.

Варіаціями називають коливання величини однієї і тієї ж ознаки.

Варіантами називають окремі числові значення варіюючої ознаки.

Генеральною сукупністю називають статистичну сукупність з якої вибирають деяку спеціальну частину для дослідження, цю частину називають вибірковою сукупністю або вибіркою.

Об’ємом вибірки (генеральної сукупності) називається кількість елементів вибірки (генеральної сукупності).

У вибірку елементи генеральної сукупності попадають випадковим чином, тому висновки які робляться про генеральну сукупність на основі вибірки є вірними лише з деякою ймовірністю.

Для того щоб, по виборці можна було отримати характеристики всієї генеральної сукупності з достатньою точністю, вона повинна бути представницькою (репрезентативною).

Репрезентативність вибірки досягається випадковим відбором варіант з генеральної сукупності. Вибірку потрібно організовувати так, щоб всі члени генеральної сукупності мали однакову можливість потрапити у вибірку.

Дискретні статистичні розподіли. Поняття варіаційного ряду та дискретного статистичного розподілу

Коли реалізується вибірка то стандартним ім’ям кількісної ознаки вважається , а стандартними іменами відповідних варіант є , , , , .

Частотою варіанти називають кількість елементів вибірки які дорівнюють значенню цієї варіанти і позначають .

Відносною частотою варіанти називають числа , де .

Сума всіх відносних частот дорівнює числу 1.

Відносні частоти є аналогом поняття ймовірності.

Накопиченими частотами називають числа , .

Накопичені частоти можна також обчислювати за формулами: , , .

Варіаційним рядом називаються варіанти , , , , які впорядковані за зростанням

Дискретними статистичним розподілом називається таблиця яка складається з двох рядків. В першому рядку вказуються варіанти , , , , які впорядковані за зростанням, у другому відповідні частоти цих варіант , , , , .

В якості заголовків рядків вказують, відповідно та .

Приклад.

Побудувати варіаційний ряд та дискретний статистичний розподіл для таких даних:

7,7,7,8,8,8,7,7,8,9,9,2,2,4,8,8,2,2,2,2,4,4,7,7,7,9,9,9,9,4,4,9,9,9,9

Після впорядкування будемо мати таку послідовність:

2,2,2,2,2,2,4,4,4,4,4,7,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9

це відповідний варіаційний ряд.

Відповідний дискретний статистичний розподіл буде мати вигляд:

	2	4	7	8	9
	6	5	8	6	10