![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Действия над векторами.
- •Базис системы векторов.
- •Скалярное произведение векторов.
- •Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов.
- •Плоскость в пространстве
- •Взаимное расположение плоскостей.
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Общее уравнение прямой.
- •Нормированное уравнение прямой
- •Каноническое уравнение прямой
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
Скалярное произведение векторов.
Определение: Под
скалярным произведением двух векторов
и
понимается
число, равное произведению длин этих
векторов на косинус угла между ними,
т.е.
=
,
-
угол между векторами
и
.
Свойства скалярного произведения:
1.
×
=
2. (
+
)
=
3.
4.
5.
,
где
–
скаляры.
6. два
вектора перпендикулярны (ортогональны),
если
.
7.
тогда
и только тогда, когда
.
Скалярное
произведение в координатной форме имеет
вид:
, где
и
.
Пример: Найти
скалярное произведение векторов
и
Решение:
Векторное произведение векторов
Определение:
Под векторным произведением двух
векторов
и
понимается
вектор,
для
которого:
-модуль
равен площади параллелограмма,
построенного на данных векторах, т.е.
,
где
угол
между векторами
и
-этот
вектор перпендикулярен перемножаемым
векторам, т.е.
-если
векторы
неколлинеарны,
то они образуют правую тройку векторов.
Свойства векторного произведения:
1.При
изменении порядка сомножителей векторное
произведение меняет свой знак на
обратный, сохраняя модуль, т.е.
2.Векторный
квадрат равен нуль-вектору, т.е.
3.Скалярный
множитель можно выносить за знак
векторного произведения, т.е.
4.Для
любых трех векторов
справедливо
равенство
5.Необходимое
и достаточное условие коллинеарности
двух векторов
и
:
Векторное произведение в координатной форме.
Если
известны координаты векторов
и
, то
их векторное произведение находится
по формуле:
.
Тогда
из определения векторного произведения
следует, что площадь параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
вычисляется по формуле:
Пример: Вычислить
площадь треугольника с
вершинами
(1;-1;2),
(5;-6;2),
(1;3;-1).
Решение:
.
,
,
тогда площадь треугольника АВС будет
вычисляться следующим образом:
,
Смешанное произведение векторов.
Определение: Смешанным
(векторно-скалярным) произведением
векторов
называется
число, определяемое по формуле:
.
Свойства смешанного произведения:
1.Смешанное
произведение не меняется при циклической
перестановке его сомножителей, т.е.
.
2.При
перестановке двух соседних сомножителей
смешанное произведение меняет свой
знак на противоположный, т.е.
.
3.Необходимое
и достаточное условие компланарности
трех векторов
:
=0.
4.Смешанное
произведение трех векторов равно объему
параллелепипеда, построенного на этих
векторах, взятому со знаком плюс, если
эти векторы образуют правую тройку, и
со знаком минус, если они образуют левую
тройку, т.е.
.
Если
известны координаты векторов
, то
смешанное произведение находится по
формуле:
Пример: Вычислить
смешанное произведение векторов
.
Решение:
Плоскость в пространстве
Плоскость
в
декартовой прямоугольной системе
координат
может
быть задана уравнением,
которое
называется общим
уравнением плоскости.
Определение. Вектор
перпендикулярен
плоскости и называется ее нормальным
вектором.
Если
в прямоугольной системе координат
известны координаты трех точек
,
не лежащих на одной прямой, то уравнение
плоскости записывается в виде:
.
Вычислив данный определитель, получим общее уравнение плоскости.
Пример. Написать
уравнение плоскости, проходящей через
точки
.
Решение:
Уравнение
плоскости:
.