Пример выполнения задания д3
Механическая система с одной степенью свободы (рис.3.1), состоящая из четырех абсолютно твердых тел, соединенных между собой нерастяжимыми невесомыми нитями (груз 3 подвешен к блоку 1 с неподвижной осью, а груз 4 подвешен к блоку 2 с подвижной осью), приходит в движение из состояния покоя под действием сил тяжести. Считая связи идеальными, определить с помощью общего уравнения динамики ускорение оси (центра масс) блока 2 .
1 VA
1
D A
VD
3 2 VB
VC
V3 p C B
2
4 V4
Рис. 3.1.
Дано: m1 = 4 кг, m2 = 2 кг, m3 = 10 кг, m4 = 20 кг, R1 = 40 см, r1 = 20 см, 1 = 30 см, R2 = 10 см.
Определить: aC - ускорение центра масс второго тела.
Решение.
Предположим, что груз 3 движется вниз со скоростью V3. Тогда блок 1 будет вращаться вокруг неподвижной оси против хода часовой стрелки с угловой скоростью 1 , блок 2 будет совершать плоско-параллельное движение, поворачиваясь в данное мгновение вокруг мгновенного центра скоростей (точка р на рис.3.1) с угловой скоростью 2 , а груз 4 будет двигаться поступательно вверх со скоростью VС. Выразим все скорости через скорость центра масс блока 2:
V4 = VС с учетом поступательного движения груза 4 вместе с нитью, на которой он подвешен к точке С;
2 = VС/РС = VС/R2 на основании свойств мгновенного центра скоростей;
VА = VВ , так как нить АВ движется поступательно, но VА = 1ОА, а VВ = 2ВР, поэтому 1ОА = 2ВР или с учетом значений ОА = R1, ВР = 2R2 и 2 = VС/R2 получим 1 = 2VС/R1;
V3 = VD с учетом поступательного движения груза 3 вместе с нитью, на которой он подвешен к блоку 1, но VD = 1ОD = 1r1, тогда V3 = 2r1VС/R1.
Выпишем конечные формулы для удобства их использования:
V4 = VС ; 2 = VС/R2; 1 = 2VС/R1; V3 = 2r1VС/R1. (3.1)
Применим общее уравнение динамики для данной механической системы с идеальными связями:
∑Aak+∑Aиk= 0, (3.2)
где ∑Aak – сумма элементарных работ активных сил, ∑Aиk – сумма элементарных работ сил инерции на любом возможном перемещении механической системы.
Активными силами в данной задаче являются силы тяжести четырех тел, из которых Р1 работу не совершает, так как приложена к неподвижной точке (рис.3.2), а работы остальных сил находятся следующим образом:
1 1
Mи1
P1
1
3 Fи2
Mи2
P3 2
P2
2 Fи2 2
4
Р4
Fи4
Рис. 3.2
∑Aak = P3s3 – P4s4 – P2sC, (3.3)
где s3 , s4 , sC – возможные перемещения тел 3, 4 и центра масс тела 2.
Применив принцип Даламбера, приложим соответствующие движениям тел силы инерции Fи3 , Fи4 , Fи2 и моменты сил инерции Ми1 и Ми2 , которые находятся следующим образом:
Fи3 = m3a3; Fи3 = m4a4; Fи2 = m2aС;
Ми1 = I11; Ми1 = IC2 , (3.4)
где I1 = m112 – момент инерции блока 1 относительно его оси вращения,
IС = 0,5m2R22 – момент инерции блока 2, представляющего собой сплошной однородный цилиндр, относительно оси, проходящей через его центр масс.
Запишем сумму элементарных работ сил инерции на любом возможном перемещении механической системы:
∑Aиk = – Ми11 – Ми22 – Fи2sС – Fи3s3 – Fи4s4, (3.5)
где 1 и 2 – возможные угловые перемещения блоков.
Выразим все возможные перемещения через sС, используя формулы (3.1):
s4 = sС; 2 = sС/R2; 1 = 2sС/R1; s3 = 2r1sС/R1. (3.6)
Выразим все ускорения через aС , продифференцировав по времени формулы (3.1):
a4 = aС; 2 = aС/R2; 1 = 2aС/R1; a3 = 2r1aС/R1. (3.7)
Подставим величины (3.6) в (3.5) и (3.3), затем подставим выражения работ (3.5) и (3.3) в общее уравнение динамики (3.2), предварительно выразив ускорения по формулам (3.7) и получим:
[2P3r1/R1 - P2 - P4 – (4m112/R12 +1,5m2 +4m3r12/R12 +m4)aС]sС = 0 (3.8)
Поскольку возможное перемещение sС отлично от нуля, приравняем к нулю выражение в квадратных скобках и решим полученное уравнение относительно неизвестной aС:
aС = (2m3r1/R1 - m2 - m4)g/[4(m112+ m3r12)/R12 +1,5m2+m4],
где g – ускорение свободного падения, которое можно принять равным 10 м/с2.
Подставив значения известных величин в последнюю формулу, получим результат aС = - 2,86 м/с2. Знак минус указывает на то, что движение механической системы происходит в обратном направлении.