38.Аксіоматичне визначення векторного простору

Множина R-векторний простір, якщо для елем цієї множини виконуються вимоги:

1)кожній парі відповідає вектор , який є сумою ;

2)кожній парі (α-число) відповід вектор (добуток вектора і числа α)

3)операції + і ∙ вектора на число задовольняє аксіоми( -вектори, α, β-числа):

-

-

-існує вектор , що

-для кожного існує (протилежний) і а+(-а)=0

-1∙а=а

-α(βа)=(αβ)а

-(α+β)а=αа+βа

-α(а+b)=αa+αb

Різниця векторів a і b назив вектор a-b що =сумі векторів a і (-b), тобто a-b=a+(-b)

Нульовим вектором прост R_n є вектор 0=(0,0,…,0)^т, а протилежним до вектора а=(а1,а2,…,аен)^т є вектор –а=(-а1,-а2,…,-аен)^т

Лін комб векторів а1,а2,…,аен – вектор де α1, α2,…,αен – числа.

ЛЗ вектори: якщо α1, α2,…,αен не=0 одночасно і =0(1)

ЛН: якщо (1) можливо лише коли α1=α2=…=αен=0

Теорема: Щоб вектори а1,а2,…,аен були ЛЗ необх і достатньо щоб принаймні 1 був лін комб інших.

Два ЛЗ вектори – колінеарні.

39. Вимірн і базис вект пр. Перет коорд при пер до нового базису. Максим к-сть лін незал векторів ВП назив його розмірн і познач dim R=n, тобто R – n-вимірний простір. Якщо ( а1 а2 ……..аn) – лін-незал с-ма n – вимірного простору, то додав будь-якого вектора до даної с-ми перетворює її у лін-залеж с-му. Отже, будь-який ( n+1 ) – вектор є лін комбінацією векторів а1 а2..аn.

Б-яка лін-незал с-ма, що скл з n-векторів назив базисом n-вимір прост.

Розкладом н-вим вектора за базис е1, е2,….ен назив представленням:

а = αi еi, де αi належить R, аі назив коорд вектора а віднос базиса е1, е2, …., ен.

Теорема : Коорд вектора віднос деякого базиса визнач однозначно.

а = ( знак суми) αі еі = ( знак суми) αі’ еі => ( знак суми) (αі- αі’) еі = 0 => αі- αі’ = 0 ( і=1,н)( з означ лін незалеж); α і= αі’, тобто розклад однознач. Зауваження :

α1

а |( α2 ) – елемент арифметичного простору.

( . )

.

( αн )

Введ поняття розкладу вектора за базисом дозвол перевести операц над векторами на мову операцій над коорд цих векторів. Отже, загал н-вимірний простір улаштований так само, як арифметичний простір м*н.

З’ясуємо, як перетворюються координати при зміні базису.

Нехай е1, е2,….,ен – старий базис, а е1’, е2’, …., ен’ – новий базис. Нехай відомі коорд векторів нового базису відносно старого.

(1) ej’= αij ei , де αij - координати розкладу, j=1,n(1)

q11 q12 …..q1n

( е1’, е2’, …., ен’)=( е1, е2,….,ен)* ( q21 q22 … q2n)

……………………

qn1 qn2 …..qnn

( е1’, е2’, …., ен’)^T=( е1, е2,….,ен)^T *Q (2), Q- матриця переходу від старого базису до нового.

(α1,α2,…,αен)^т і (α1',α2',…,αен')^т-матриці-стовпці корд вект у стар і нов. базисах, тоді а= ; (1)+(2)→

i=1,n або

(α1',α2',…,αn')^т=Q^-1(α1,α2,…,αn)-коорд вект а в нов. баз через старий

40.Підпростори векторного простору

Непорожня можина U вект простору R назив. його підпростором, якщо вона з кожними двома векторами а,b містить всі їх лінійні комбінації, тобто а є U, b є U => (αа+βb) є U, α,β є R.

Теорема. Кожний підпростір є векторним простором.

Виходячи з озн., викон всі аксіом вект. прост, слід перевір лише А3 і А4.

θ є U: α=0,β=0, а,в є U => θα+θβ=θ є U

(а є U, α =-1) +(в є U, β=0) => -ав0=-а є U

Приклади підпросторів(тривіальні):1) U={θ} – нульовий підпростір; 2) U=R; 3) U= L{а1,а2,...,аn} – множина всіх лін. комбінацій векторів а1,а2,...,аn, аі є R. (лінійна оболонка а1,а2,...,аn, підпростір, що породж. векторами а1,а2,...,аn, підпростір, натягнутий на вектори а1,а2,...,аn)

Теорема: будь-який базис е1, е2,..., еm підпростору U є R можна доповнити до базису всього простору.

Доведення:Якщо dim R=n(m<n), то знайдеться вектор e_m+1 є R що вектори е₁,…,e_m,e_m+1 ,будуть лін залеж. Якщо m+1<n, то повтор операц…поки к-сть векторів у с-мі не досягне ен.Побуд с-ма-базис R

Введемо операції:

Сумою U+V підпросторів U,V вект. простору R назив. множина всіх векторів вигляду: а=u+v, де u є U, v є V

Перерізом U٨V підпросторів U, V вект. простору R назив. множина всіх векторів, які належать до U і до V. Заув.: U+V≠θ, U٨V≠θ, бо вони містять нуль-вектор.

U+V і U٨V очевидно самі є вект. підпросторами.

Теорема: для будь-яких двох підпросторів U і V простору R має місце формула Грасмана :

dim(U+V)=dimU+dimV-dim(U٨V)

Прямою сумою підпросторів U і V наз. сума U+V, якщо U٨V={θ} і познач. U V

Теорема: кожний вектор прямої суми U+V можна розкласти однозначно у таку суму: а=u+v, де u є U, v є V. Дов-я: припуск., що є представлення u+v і u’+v’. тоді u+v=u’+v’, або u-u’=v’-v ... отже, висновок : U٨V={θ}.

Довед: припустимо, що є 2 представлення: . Звідси виплив,що . Так як , єдиний скал вектор підпр U, V нульовий, то