8Поняття вектора.Лінійні дії над векторами.

Вектор-направл відрізок AB, де А- початок, B- кінцева точка вектора.

Нуль-вектор( )-вектор у якого початок і кінець збігаються.

Будьякий вектор хар-ться напрямком і довжиною(модулем)

Нуль вектор: | |=0,напрям-невизначений.

Колінеар вектори і , якщо лежать на одній, або паралельних прямих

-колінеарні співнапрямлені

- колінеарні протилежно напрямлені

Вектори і називаються рівними, якщо:

1. | |=| | 2)

Зауваження: рівний , можна одержати з паралельним перенесенням Вектор є вільним відносно точки прикладення.

Лінійні Операції над векторами

1. | |=| |*| |

2. , >0 , <0

3. = =0 або =

Вектор - називається протилежним , якщо - =(-1)

Зауваження:колінеарність || =

Якщо , то | | 0.

Ортом вект а наз одинич вект, що має той самий напрям, що і а:

, | |=1 тоді =| |*

Властивості добутку вектора на скаляр

1. 1* = 2)( ) = ( )

Сумою Векторів і називаеться вектор = + ,який визначається за правилом трикутника , або паралелограма.Узагальненим правилом трикутника є правило многокутника.

Різниця: = - це такий вектор, що + =

Властивості суми векторів:

1. комутативність: + = +

2. асоціативність: + + = ( + )+

3. дистрибутивність ( + )= + * = +

4) + = +(- )=

9.Лін комб вект —це вектор = С-ма векторів лінійно-залежна, якщо існ скаляри не всі =0, такі що лін. комбінація векторів =

С-ма векторів —лін-незалежна, якщо рівність можлива лише тоді, коли всі =0

Властивості лін.-залежних і лін.-незалежних векторів:

1)Якщо сист. векторів лін.-залежна, то принаймні 1 з векторів с-ми є лін. комб інших. Довед: Нехай лін.-залежна,тоді є R., тоді . це лін. комб вект

2)Якщо сист. векторів лін.- незалежна, то вона не містить , та жоден вектор системи не є лін. комб. інших векторів системи. Доведення:а) нехай с-ма містить , тоді , .Отже, сист. лін.-залежна, що суперечить умові. б) — ø, тобто не є лін. комбінацією інших векторів.

Вектори компланарні-вектори, які лежать в 1 або парал площинах. ТЕОРЕМА:В множині всіх компл векторів будь-які 2 ненул неколінеарні вектори є лінійно-незалеж, а будь-який 3-й вектор є лін. комбін цих векторів. Доведення: Нехай не || , . Доведемо, що і лін.-незалежні. Нехай і лін.-залежні, тоді а це суперечить умові. Отже, і лін- незалежні.

Розгл. 3 вектори , і , зведені в 1 точці. Через кінець проведемо прямі паралельно і . = . В силу колінеарності відповідних векторів, маємо = , = . Тоді = + . Отже, є лін комб. і . Зауважимо, що розклад за і є однознач.(Довед: нехай є друг вектор = + )коорд. вектора , тобто ці в-ри є рівними=> співпад з . Ми дійшли до суперчн, -єдин.

Множина всіх компл в-рів з визнач оперціями додав векторів та множ на скаляр є прикладом векторного прост. Найбіл к-сть лін-незал вект простору назив. його розмір, а сама система лін-незал векторів назив. базисом простору.Множина всіх компл вкторів є вект прост розмірності 2 і познач. . Базис склад з буд-як 2 неколін векторів. ТЕОРЕМА:множині всіх компл векторів геом. прост будь-які 3 некомпл, ненул, поарно неколін вектори є лінійно-незал, а будь-який 4-й вектор є лін. комб цих векторів .

10.Числова вісь у прост- пряма OS , на якій визначено напрям, поч відліку, один відріз. Вісь зручно задав за доп орту. Розгл. Чис вісь:

O

берем будь-як вектор в прост і зводимо його поч до точки 0. Через кін вектора проведемоплощин, перп до осі. Числ проекц на вісь = = . Властив числ проекції:1) .2) 3) 4)

Числ пр на — проекція на вісь, що задається . .

Розглянемо в-ри в просторі R3 , ортоном базис , . В-ри попарно ортогон . Зведемо ці в-ри до спіл поч 0 та розташ їх так, щоб утвор праву трійку.Візьмемо будь-як вектор і відклад від т. О.Провед через т.А площини ІІ до Ох, Оу, Оz. Одержимо точки при перет з осями визнач числ пр на осі коорд. . = , = , = . X= , y= ,z= Отже, маємо розклад за ортами дек прямок с-ми коорд. =хі+yj+zk=(x,y,z)

Введ кути між і ос коор: , , З власт 2 пр маємо: cos = ; cosb= ; cosj= (за означ. cos) За теор. Піф з мал. маємо: . cos Ці cos кутів є коорд. орта: cos Переформ в коорд. формі означ та лін. опер над вект:1) =(0;0;0) 2) = , =(x1;y1;z1), (x2;y2;z2)=>x1=x2, y1=y2,z1=z2; 3) =( x; y; z). 4) +- =(x1+-x2;y1+-y2;z1+-z2)

4) = , A(x1,y1,z1), B(x2;y2;z2); =(x2-x1;y2-y1;z2-z1)