52 Зведення кф до канонічного вигляду

Рангом КФ наз. ранг її матриці А. При зміні змінних х=Су КФ переходить у КФ від нових змінних у₁,у₂,…,у_n . Перетворення змінних х=Су назив. не виродженим, якщо матриця С є не виродженою. Канонічною виглядом КФ назив. представлення її як алгебраїчні сума квадратів f(y)=∑ⁿ_j=1 λ_iy_i², де λ_i≠0, к-ть ненульових доданків = рангу КФ. Нормальним виглядом КФ назив. представлення f(y)=y₁²+ y₂²+...+ y_p²- y_1+p²- y_r² (ця форма одержана з канонічної у_і=1/(| λ_i |)^0.5y_i^/ , λ_i≠0).

Теорема Для того, щоб симетр.А можна подати у вигляді А= QΛQ^T, де Q – ортогональна, Λ – діагональна, необхідно і достатньо щоб Q складал. З ортонормованих власних векторів А, а Λ мала діагональні елементи відповідні власні значення А.

Теорема Будь-яку КФ ортогоню перетворень можна звести до канонічного вигляду. Нехай Q – ортогональна матриця, що складена з ортонормованих власних векторів А. Q^T = Q^-1 х= Qу, у= Q^T х. розглянемо КФ: f= х^тАх=х^т QΛQ^Tх=у^т Λу=∑ⁿ_i=1 λ_iy_i².

Теорема (закон інерції КФ)

К-ть доданків з додатніми (від’ємними) коефіцієнтами в нормальному вигляді КФ не залежить від способу зведення КФ до цього вигляду.

Методи зведення КФ до канонічного вигляду

1. метод Лагранжа – виділення повних квадратів

2. застосування ортогонального перетворення

1) нехай КФ зведена до канон вигляду, причому відмінні від нуля канон коефіц(занумеровані так, що λ₁, λ₂,… λ_р є додатними,

а λ_р+1,… λ_r - відємними.

За допомог невиродж ЛП змінних:

У= S₁\√λ₁,…..,у_р= S_Р\√λ_Р, у_р+1= S_Р+1\√-λ_Р+1,…, у_r+1= S_r+1+1,…,y_n=S_n.

Кф можна звести до вигляду:(нормальний вигляд):

f = S²₁+ S²_p – S²_p+1 - S_r ²

53) Поняття множини. Рівність множин.

Множина- первинне визначення математичного аналізу. Поняття множини вважається первісним і інтуїтивним. Множина задається правилом або ознакою відповідно до якого визнач. Чи належить деякий елемент множ. чи ні.

А={а}, де А скл або з множ. склад. з 1 елемента а малого. Множину можна задавати за допомогою переліку її елементів А={а ,в, с...}

є А- елемент а належить множині А. - а не належить множині А

Елементи множини А, що мають власн. Р

А₁={а єА (а має вл. Р)}

А₁ ={а: (а є А) (а має вл. Р)}

Часто замість кон’юнкції вектор., множина В наз. підмножиною множини А .

В підмножина А

Позначимо - універсальна множина та будемо розглядати всі інші множини як підмножини універсальної.

Порожньою множиною наз. множина, що не містить жодного елемента.

Множина А і В наз рівними, якщо вони містять одні й ті самі елементи

А =В (А В) (В А)

Позначення

Множина натуральних чисел : N= {1,2,3…}

Z₀- множина не „-” цілих чисел Z₀- {0,1,2,3…}

Z- {0, 1, 2…} – цілих чисел

Q= { } Q- раціональні

І- нескінченні неперіодичні дроби.

R – Q + I

С- комплексні

На множину натуральних чисел вводиться операція „+”і виконуються такі влас. (аксіоми):

• якщо n є N ( n +1) є N

• 1 є М (деяка множина), (n є М ( n +1) є М ) N М- аксіома індукції

54) Операції над множинами.

Перерізом множин А і В наз. мн-на, що скл із спільних ел множин А і В

Для ілюстрації операції викор. круги Ейлера або діаграми Вєна.

Об’єднана множина А і В, наз. множина яка містить тільки ті елементи, які належать А або належать В

Різницею множини А і В наз. множина, яка містить тільки ті елементи, що належать А і не належать В .

; -симетрична різниця

Доповненням множ. А наз. множ. , яка містить тільки ті елементи, що не належать А.

Поняття перерізу і об’єднання мн-н можна поширити на декілька мн-н

Властивості операцій над множинами:

1) - ця властивість означає, що відносно операц. Перерізу та об’єднання є замкненою.-комутативніс

2) -асоціативність3) -дистрибутивн.

4) 5)

6) ) 8)

7)

9) Правило деМоргана

Порядкованою парою елементів а є А, в є В, наз. послідовність (а, в), якщо чітко вказано номер компоненти.Декартовим добутком множ. А і В наз. множина всіх впорядкованих пар елементів множин А і В.