50.Ортогональні перетворення.

1.Ортогональне перетворення – лінійне перетворення евклідового векторного простору, що зберігає незмінними довжини або (що еквівалентне цьому) скалярний добуток векторів.

2.Ортогональне перетворення – це лінійне перетворення, яке зберігає скалярний квадрат всякого вектора а : (аφ, аφ) = (а, а);

ЛП y=Qx наз ортогональним, якщо мат-ця Q є ортогональною. Властивість:для будь-яких двох векторів їх скаляр добуток =скал добутку їх образів при цьому перетворенню.

Дійсно. Нехай u,v є E_n, тоді (Qu)^TQv=u^TQ^TQv= u^Tv. Звідси випливає, що при ортом перет-ні довжини векторів та кути між ними не змінюються, бо |Qu|=|u| i .

Приклади перетворень ::

1. Нехай на площині х₁Ох₂ кожний радіус-вектор х замінюється рад-век у, який одержаний у результаті обертання х на кут φ проти годинникової стрілки.

е^/₁

х₁

Визначимо матрицю перетворення обертання в натурал базисі, який скл з ортонормованих векторів е₁=(1,0)^Т; е₂=(0,1)^Т. У результаті вказаного перет-ня басисний в-р е₁ замінюється вектором е₁¹ =cosφ е₁ + sinφ е_2,, а базисн вектор е₂ -- е₂¹ =-sinφ е₂ + cosφ_2.. Тоді матриця перетворення обернення має такий вигляд: T=( cosφ -sinφ )

sinφ -cosφ.

Перетворення обертання в R_n визначається мат-цею обертання T_ij(φ), яка відрізняється від одиничної матриці лише чотирма елементами, розміщених на перетині рядків і стовпців з номерами i та j. (i < j), при чому два діагонал ел-ти = sinφ та – sinφ.

Перетв-ня відбиття відповідає м-ця відбиття H=E-2uu^T, де u-нормован вектор (|u|=1). Зауважимо, що м-ця Н є симетричною, бо H^Т=(E-2uu^T ) ^Т = E^Т-2u^Т (u^T) ^Т = E-2uu^T = Н. Покажемо, що м-ця Н є ортогональною. Дійсно,оскільки u^Tu=|u|²=1,то Н^ТН=(E-2uu^T ) ² = Е-4 u u^T + 4 u u^T u u^T = Е.

51 Означення квадратичних форм(кф). Основні ознаки додатної визначеності.

КФ від змінних х₁,х₂,…х_n назив. многочлен відносно цих змінних, який вміщує тільки їх 2 степені f(х₁,х₂,…х_n)=∑ⁿ_i=1∑ⁿ_j=1 a_ijx_ix_j=x^TAx, де х=(х₁,х₂,…х_n)^т, А=а_іj, і,j=1, n – матричні коефіцієнти КФ, при чому А – симетрична матриця (а_іj= а_jі). Нехай КФ містить доданки a_ijx_ix_j, a_jіx_jх_і, a_ij≠a_jі, тоді введемо нові коефіцієнти a_ij^/=a_jі=(a_ij^/+a_jі^/)/2. Одержимо новий доданок 2a_ij^/x_ix_j. Отже матрицю А можна зробити симетричною. КФ(матриця) назив. додатно(невід’ємно, від’ємно, недодатньо) визначеною, якщо для будь-якого х≠0 виконується х^тАх>0 (х^тАх≥0, х^тАх<0, х^тАх≤0). Очевидно, що від’эмно (недодат.) визначені КФ отримується з додатньо (невід’ємно) визначених зміною знаку.

Теорема (осн.ознаки додат.визначеності КФ або матриці)

Для того, щоб симетрична матриця була дод.визначеною, необхідно і достатньо, щоб виконувалась одна з умов:

1. всі власні значення А – додатні(λ_і>0);

2. всі провідні мінори матриці А додатні (∆_і>0);

3. всі провідні елементи (без переставлення рядків) А –додатні(d_і>0);

4. існує не вироджена матриця W, така що А= W^т W.

5. x^TAx>0

Зауваження:

1. ознаки невід’ємної визначеності відрізняються від сформульованих лише заміною знаку > на ≥ ;

2. провідними мінорами А назив. такі мінори: ∆₁=а₁₁, ∆₂=^{|a11 a12|}_{|a21 a22|}, ∆_n=detA. Умова 2 це формулювання критерію Сильвестра для додатної визначеності А. Критерій Сильвестра для від’ємної визначеності А: х^тАх<0 <=> коли знаки провідних мінорів чергуються, починаючи з від’ємного ∆₁<0, ∆₂>0, ∆₃<0…

3. за допомогою елементарних перетворень симетричн. А можна представити у вигляді А=LDU, де L, відповідно нижня і верхня трикутні матриці з одиничною діагоналлю (ці матриці є добутками елементів матриць), D – діагональна матриця на діагоналі якої стоять провідні елементи;

4. матрицю W можна побудувати способами:

1. W=Λ^0.5Q^T, де Λ –діагональна матриця, елементи якої – власні значення (λ₁ λ₂ λ_n). Λ^0.5=diagon(λ₁^0.5, λ₂^0.5,…, λ_n^0.5). Q – матриця складена з ортонормованих власних векторів А, що відпов..власним значенням (Q – ортогональна матриця); 2. W=QΛ^0.5Q^T. в даному випадку W=А^0.5;

3. W= diagon(d₁^0.5, d₂^0.5,…, d_n^0.5)U, де U – множник розкладу А, (А= LDU), при чому U^т= L – для симетричних матриць.