10. Признак возрастания и убывания функции.

Одна из основных задач исследования функции – нахождение промежутков ее возрастания и убывания.

Достаточный признак возрастания функции:

Если f^/ (x)>0 в точке интервала (а,в), то функция f (x) возрастает на (а,в).

Достаточный признак убывания функции:

Если f^/ (x)<0 в точке интервала (а,в), то функция f (x) убывает на (а,в).

Пример: Найти промежутки возрастания и убывания функции:

y= -x² + 2x – 3

Решение: Область определения функции – все множество действительных чисел ( т.к. нет «подводных камней»)

D (y) = R

Найдем критические точки функции:

y^/ = -2x + 2 = 0

x = 1

+ 1 -

Ответ: f (x) возрастает при x ( - ; 1 ],

f (x) убывает при x [1; + ).

11. Критические точки функции, экстремумы.

Определение: Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Теорема Ферма: ( необходимое условие экстремума )

Если точка является точкой экстремума функции f (x) и в этой точке существует производная, то она равна нулю.

Признак максимума:

Если функция f непрерывна в точке х₀, а f^/ (x) >0 на интервале

( а; х₀), и f^/ (x) <0 на интервале (х₀, в), то точка х₀ является точкой максимума функции f .

Признак минимума:

Если функция f непрерывна в точке х₀, а f^/ (x) <0 на интервале

( а; х₀), и f^/ (x) >0 на интервале (х₀, в), то точка х₀ является точкой минимума функции f .

Упрощенно: Если в точке х₀ производная меняет знак

с «+» на «-», то х₀ – точка максимума

с «-» на «+», то х₀ – точка минимума

12. Схема исследования функции.

1. Область определения функции

2. Четность-нечетность

( функция называется четной, если выполняется условие

f (-x) = f (x), график симметричен относительно оси ОУ; функция называется нечетной, если выполняется условие

f (-x) = -f (x), график симметричен относительно начала координат)

3. Точки пересечения с осями координат:

с ОХ: у=0, решить уравнение f(х)=0

с ОУ: х=0, у=f (0)

4. Промежутки возрастания, убывания, экстремумы, значение

функции в точках экстремума.

5. Построить график.

Пример: Исследовать функцию и построить график:

у= х² + х – 2

1. D (y) = (- ; + )

2. y (-x) = (-x)² + (-x) – 2 = x² – x – 2 – общего вида

3. с ОХ: у=0 х² + х – 2 = 0

х_1,2= -2; 1

точки пересечения с осью ОХ (-2; 0 ), ( 1; 0)

с ОУ: х=0 у= -2

точка пересечения с ОУ (0; -2)

4. у^/ = 2x + 1 = 0

x = - - - +

y(- ) = - - 2 = -2

5. Построим график функции:

у