4. Производная степенной функции.

Формула для вычисления производной степенной функции у = хⁿ , где n – произвольное натуральное число, большее 1, такова:

( хⁿ ) ^/ = n х ^n-1

Примеры: 1) ( х ⁴ + 3х² ) ^/ = 4х³ + 6х

2. ( sin x² ) ^/ = cos x ² ( x² ) ^/ = 2x cos x²

5. Производная степенной функции.

Если функция f имеет производную в точке х₀, а функция g имеет производную в точке y₀ = f ( x₀) , то сложная функция

h ( x ) = g ( f ( x )) также имеет производную в точке х₀, причем

h ^/ ( x₀ ) = g ^/ ( f (x₀)) · f ^/ ( x₀ )

6. Производные тригонометрических функций.

Функции у=sin x, y=cos x, y=tg x иy=ctg x имеют производные в каждой точке своей области определения. Справедливы следующие формулы:

( sin x )^/ = cos x (arcsin x) ^/ =

( cos x )^/= sin x (arccos x) ^/ = -

( tg x )^/ = (arctg x) ^/ =

( ctg x )^/ = (arctg x) ^/ = -

7. Касательная к графику функции. Уравнение касательной.

График дифференцируемой в точке х₀ функции f вблизи х₀ практически не отличается от отрезка касательной, а следовательно, он близок к секущей l, проходящей через точки ( х₀, f (x₀)) и

( x₀ + Δx, f ( x₀ + Δx)).

Для того, чтобы однозначно задать прямую, проходящую через данную точку А, достаточно указать ее угловой коэффициент: к = - это угловой коэффициент касательной.

Касательная – это предельное положение секущей при Δх .

Выведем уравнение касательной к графику функции f в точке

А (х₀, f (х₀)). Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: у= f ^/ (x₀) · x + b. Так как А принадлежит касательной, то

f(x₀)=f ^/(x₀)· x + b

b = f (x₀) – f ^/ (x₀)·x₀

y= f ^/ (x₀) · x – f ^/ (x₀) · x₀+ f(x₀)

или

y= f ^/ (x₀) · x + f ^/ (x₀) (x – x₀)

8. Приближенные вычисления.

Для дифференцируемой в точке х₀ функции f при Δх , мало отличающихся от нуля, ее график близок к касательной, т.е. при малых Δх справедлива формула:

f (x ) f(x₀) + f ^/ (x₀) Δx

Из этой формулы выводятся следующие:

1)

2) (1 + Δх)ⁿ = 1 + n Δx

Примеры: 1) = 1 + · 0,06= 1,03

2) 1,001¹⁰⁰ = (1 + 0,001 )¹⁰⁰ 1 + 100 · 0,001= 1,1

9. Производная в физике и технике.

И сследуем зависимость координаты движущейся материальной точки от

времени. Средняя скорость движения на участке АВ равна

v_{cр = ,}

при t 0

v _ср( Δt ) = v ( t₀ ) –

мгновенная скорость,

но по определению производной

v ( t₀ ) v ( t ) = x^/ ( t )

Поэтому считают, что мгновенная скорость v( t ) определена для любой дифференцируемой функции x (t), при этом v (t) = x^/ (t), т.е.

это является механическим смыслом производной.

Аналогично определяется ускорение, если рассматривать скорость движения точки как функцию от времени, т.е.

a (t) = v^/ ( t )