4 Парный регрессионный анализ
4.1 Модель парной линейной регрессии
Важнейший задачей экономического анализа является установление взаимосвязей экономических переменных, что помогает при анализе их поведения [2,15].
Коэффициент корреляции показывает, что две переменные связаны друг с другом, но он не дает представления о том, каким образом они связаны.
Рассмотрим случай двух переменных и и определим существует или нет линейная связь между ними.
Проведем случайную выборку.
При
значениях
наблюдаем значения
соответственно. На плоскости
отметим точки с координатами
.
Предположим, что точки группируются вокруг некоторой прямой линии
точки не находятся точно на этой линии. Это неудивительно, т.к. помимо на поведение оказывают влияние и другие факторы.
На
переменные
накладывается ряд условий. Для
описания природы связи используется
термин «регрессия».
«Регресс»
(лаг) – отклонение, движение назад.
Зависимость между переменными и в генеральной совокупности можно представить как модель парной линейной регресии
где – результативная (или объясняемая, зависимая) переменная;
– факторная ( или объясняющая , независимая) переменная;
и
– неизвестные параметры модели;
– случайный член (случайная ошибка регрессионной модели).
Величина состоит из двух составяющих:
1)
случайный составляющий
;
2) случайного члена .
Основные предпосылки модели парной линейной регресии:
связь между переменными и линейная;
независимая переменная может быть использована для прогноза ;
остатки нормально распределены;
для всех данных математическое ожидание равно нулю;
ошибки независимы;
Наличие случайного члена связано с воздействием на зависимую переменную у других неучтенных в данной модели факторов.
Например, нелинейность модели, наличие других переменных, неучтенных в модели; неправильный выбор объясняющей переменной, ошибки в измерениях.
Рассмотрим как комбинация этих двух составляющих определяет величину .
Пусть
объясняющая (факторная) переменная
имеет значения
.
Если бы соотношение
были бы точным, то вычисленные по формуле
значения
были бы представлены точками
,
которые лежали бы на прямой.
Наличие случайного члена приводит к тому, что в действительности значение у получается другим.
Обозначим
через
,
точки которые отражают реальные значение
(
рисунок 4.1).
Рисунок 4.1
На
диаграмме рассеяния случайный член
для точек
и
и
для точек
и
.
Фактические значения параметров и , отсюда и положение точек
,
а также фактическое значение случайного
члена
неизвестны.
Рассчитать истинные значения и практически невозможно.
Можно получить только оценки этих параметров.
Задача
регрессионного анализа состоит в
получении
оценок
параметров
и
и в определении положения прямой по
точкам
.
Очевидно, чем меньше значение
,
тем легче эта задача.
Пусть имеем четыре наблюдения .
На
основе выборочного наблюдения оценим
выборочное уравнение регресии (линии
регрессии)
,
где
-
отрезок, отсекаемый прямой на оси
,
является оценкой
,
– угловой коэффициент прямой, т.е.
показатель наклона линии линейной
регрессии, является оценкой
.
Пусть
при
вычислим
,
соответствующей точкой на линии регрессии
будет
.
Разность
между фактическим и расчетным значениями
называется остатком в первом наблюдении
и определяется отрезком
.
Аналогично определим остатки:
Очевидно,
что линию регрессии нужно строить так,
чтобы остатки
были бы минимальными.
При этом линия, строго соответствующая одним наблюдениям не будет соответствовать другим и наоборот.
Необходимо выбрать такой критерий подбора коэффициентов и в уравнении линии регрессии , который будет одновременно учитывать величину всех остатков.
Один
из способов решения данной проблемы
состоит в минимизации суммы
Величина
зависит от выбора
и
,
так как они определяют положение линии
регрессии.
Чем меньше , тем строже может соответствовать.
Если
,
то получено абсолютно точное соответствие,
так как это значит, что все остатки равны
нулю.