4.2 Проектирование бих цифрового фильтра по аналоговому прототипу

Методы цифровой обработки сигналов (ЦОС) в радиотехнике, системах связи, управления и контроля в настоящее время приобрели огромное значение и в значительной мере заменяют классические аналоговые методы.

Цифровая обработка сигналов, базируясь на математике семнадцатого и восемнадцатого столетий, в настоящее время стала важным инструментом во многих областях науки и техники. Методы и применения цифровой обработки стары, как методы Ньютона и Гаусса, и молоды, как цифровые ЭВМ и интегральные схемы. При цифровой обработке используется представление сигналов в виде последовательностей чисел или символов. Цель такой обработки может заключаться в оценке характерных параметров сигнала или в преобразовании сигнала в форму, которая в некотором смысле более удобна. Формулы классического численного анализа, такие, как формулы для интерполяции, интегрирования и дифференцирования, безусловно, являются алгоритмами цифровой обработки. Наличие быстродействующих цифровых ЭВМ благоприятствовало развитию все более сложных и рациональных алгоритмов обработки сигналов; последние же успехи в технологии интегральных схем обещают высокую экономичность построения очень сложных систем ЦОС.

Области применения ЦОС постоянно расширяются – это и биомедицина, акустика, звуковая локация, радиолокация, сейсмология, связь, системы передачи данных, ядерная техника и многое другое. Например, при анализе электроэнцефалограмм, электрокардиограмм, а также передаче и распознавании речи требуется выделять некоторые характерные параметры сигнала. Иногда же возникает необходимость отделения помехи типа шума от сигнала или приведения сигнала к виду, который наиболее удобен для пользователя.

Методы цифровой обработки будут, несомненно, способствовать существенным изменениям в областях науки и техники. Характерным примером является область телефонии, где цифровые методы позволяют экономить и дают гибкость при реализации систем переключения и передачи. Учитывая направление развития данной области, очевидно, что ее методы будут применяться скорее по своему прямому назначению, чем для аппроксимации аналоговых систем обработки.

Цифровой фильтр представляет собой дискретную линейную систему с постоянными параметрами, которая реализуется на основе использования арифметического устройства с ограниченной точностью. Проектирование цифрового фильтра включает три основных этапа: во-первых – определение требуемых свойств системы; во вторых это аппроксимация этих требований на основе использования физически реализуемых дискретных систем и наконец, в третьих реализацию системы при использовании арифметики с ограниченной точностью. Несмотря на то, что эти три этапа не являются независимыми, сосредоточим внимание в первую очередь на втором этапе, поскольку первый из них в сильной степени зависит от конкретного применения, а третий требует специального рассмотрения. При практической постановке задачи наиболее характерен случай, когда требуемый цифровой фильтр должен быть использован для фильтрации цифрового сигнала, который получен из аналогового сигнала путем образования периодических выборок. Требования, как для аналоговых, так и для цифровых фильтров часто (но не всегда) задаются в частотной области, как, например, в случае частотно-избирательных фильтров, таких, как фильтры нижних или верхних частот и полосовые фильтры. При заданной частоте дискретизации (f_д) структура цифрового фильтра может быть получена путем преобразования частотных требований для аналогового фильтра в частотные требования для цифрового фильтра. При этом аналоговые частоты определяются в Герцах, а цифровые частоты – в единицах частоты в радианах или углах единичной окружности с точкой z=-1, соответствующей половине частоты дискретизации. Существуют, однако, применения, в которых подлежащий фильтрации цифровой сигнал не формируется путем образования периодических выборок аналоговой временной функции, и, как известно, кроме образования периодических выборок существует множество способов представления аналоговых временных функций с помощью последовательностей. К тому же в большинстве методов расчета, которые будут рассмотрены, период дискретизации не играет роли в процедуре аппроксимации.

Рисунок 1- Допустимые пределы для аппроксимации идеального фильтра нижних частот

Определение передаточной характеристики аналогового нормированного ФНЧ по справочнику

Исходными для расчета коэффициентов передаточной функции нормированного аналогового фильтра являются: граничная частота полосы задерживания (частота среза f_c); верхняя граница рабочего затухания в полосе пропускания – Δ а; нижняя граница в полосе задерживания – а₀.

Порядок определения передаточной функции.

1. Расчет нормированных “цифровых” граничных частот w_г.п.=f_г.п./f_д и w_г.з..=f _г.з/f_д.

2. Расчет параметра преобразования с помощью таблицы (см. Приложение Г).

3. Нахождение граничной “аналоговой” частоты полосы задерживания АФ прототипа.

4. Найти модуль коэффициента отражения по заданной величине Δа с помощью таблицы (см. Приложение Г).

5. После чего определяем вспомогательный параметр L с помощью величин а₀ и по общее номограмме рис. 1 (см. Приложение Г).

6. Определяем порядок n передаточной функции с помощью заданной величины и полученной величины L. Нахождение также осуществляется с учетом типа фильтра и с помощью номограмм приведенных в приложении (см. Приложение Г).

7. Записываем передаточную функцию T(S) фильтра в общем виде.

8. Далее определяем численные значения коэффициентов передаточной функции из таблиц (см. Приложение Г).

9. Определение передаточной функции H(z) цифрового ФНЧ (ФВЧ) путем обобщенного билинейного преобразования.

10. После чего производим контрольный расчет АЧХ, импульсной, переходной характеристики с помощью ПК.

Желательно использовать для расчета программные средства: Mathcad 11 Enterprise Edition, MATLAB 7.0 и QBASIC.

Переменная s=i соответствует исходному фильтру-прототипу, низкого порядка, а переменная s=i - произвольному фильтру нижних частот вдвое более высокого порядка.

Применяя изложенный выше метод или воспользовавшись непосредственно данными таблиц, можно установить количественно подходящие функции (s) и S(s) исходного фильтра-прототипа нижних частот. Последующую реализацию этих функций, т.е. нахождение соответствующих цепей, можно продолжать в s – плоскости фильтра-прототипа нижних частот лишь в случае, когда транспонирование графика требований к проектируемому фильтру в область фильтра-прототипа осуществляется с помощью того или иного реактансного преобразования частоты. Тогда применение реактансного преобразования к элементам фильтра-прототипа и последующее их денормирование позволяют найти искомую цепь.

Более общим образом можно описать линейные с постоянными параметрами системы с помощью z-преобразования импульсной характеристики. Обозначая х(п), у(п) и h(n) вход, выход и импульсную характеристику соответственно и X(z), Y(z) и H(z) их z-преобразования и используя результаты предыдущего раздела, получим из свертки у(п) = х(п)h(п) соотношение Y(z)=X(z)H(z).

Как и в случае преобразования Фурье, соотношение между входом и выходом для линейных инвариантных к сдвигу систем получается умножением z-преобразований входного сигнала и импульсной характеристики. Часто z-преобразование импульсной характеристики называется передаточной или системной функцией. Передаточная функция на единичной окружности (т. е. При |z| = 1) является частотной характеристикой системы.

1. Данные для проектирования БИХ ЦФВЧ по АФНЧ.

Фильтр Чебышева:

Δа=0,1 [дБ]; a₀=35 [дБ]; f_г.з=560 [Гц]; f_г.п=3440 [Гц] ;

1. Найти передаточную функцию цифрового БИХ-фильтра: ЦФВЧ; по аналоговому прототипу (АФНЧ) соответствующего типа Чебышева (тип T), с использованием обобщенного билинейного преобразования. F_д=8000 [Гц].

По таб. П.1.1. определяется модуль коэффициента отражения по заданной величине Δа:

Номограмма (рис П.1.3) служит для определения модуля вспомогательного параметра L по заданной величине a₀ и определенной величине :

0,05

Порядок передаточной функции: n=2C

2. Графики, построенные по данным таблицы, полученные в результате расчета АЧХ, затухания, импульсной и переходной характеристики фильтра с помощью программы.

Таблица1 - Данные

0	0,033	0,0667	0,1	0,1333		0,1667	0,2	0,2333	0,2667	0,3	0,3333	0,3667
0	0,0018	0,0074	0,0174	0,0327		0,055	0,0874	0,1344	0,2042	0,3099	0,4691	0,6861
0,4	0,43333	0,4667	0,5
0,895	0,9895	0,9936	0,9859

Рисунок 2- Амплитудная – частотная характеристика (АЧХ) фильтра

Таблица 2 - Данные

0	0,033	0,0667	0,1	0,1333	0,1667	0,2	0,2333	0,2667	0,3	0,3333	0,3667
0	0,0018	0,0074	0,0174	0,0327	0,055	0,0874	0,1344	0,2042	0,3099	0,4691	0,6861

0,4	0,43333	0,4667	0,5
0,895	0,9895	0,9936	0,9859

Рисунок 3- Импульсная характеристика

Таблиц 3 - Данные

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,09695	-0,192126	0,152402	-0,07786	0,019517	0,009918	-0,01703	0,01301	-0,00641	0,001437

10	11	12	13	14	15
0,000984	-0,0015	0,001108	-0,00053	0,000103	0,000096

Рисунок 4- Переходная характеристика

2. Данные для проектирования БИХ ЦФВЧ по АФНЧ.

Фильтр Баттерворта:

Δа=0,044 [дБ]; a₀=30 [дБ]; f_г.з=3440 [Гц]; f_г.п=560 [Гц];

2.1 Найти передаточную функцию цифрового БИХ-фильтра: ЦФВЧ; по аналоговому прототипу (АФНЧ) соответствующего типа Баттерворта (тип В), с использованием обобщенного билинейного преобразования.

F_д=8000 [Гц]

По таблице П.1.1. определяется модуль коэффициента отражения по заданной величине Δа:

Номограмма (рисунок П.1.1) служит для определения модуля вспомогательного параметра L по заданной величине a₀ и определенной величине :

Порядок передаточной функции n=2.

2. Графики, построенные по данным таблицы, полученные в результате расчета АЧХ, затухания, импульсной и переходной характеристики фильтра с помощью программы.

Таблица 4 - Данные

0	0,025	0,05	0,075	0,1	0,125	0,15	0,175	0,2	0,225
0	0,0031	0,0125	0,0286	0,0524	0,085	0,128	0,1835	0,2538	0,3409

0,25	0,275	0,3	0,325	0,35	0,37	0,4	0,425	0,45	0,475
0,4452	0,5632	0,6856	0,7979	0,8864	0,9453	0,9782	0,9933	0,9987	0,9999

0,5

1

Рисунок 5- Амплитудная – частотная характеристика (АЧХ) фильтра

Таблица 5 - Данные

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,199313	-0,47899	0,35249	-0,04611	-0,05207	0,030237	-0,00175	-0,00535	0,00251	0,000061

10	11	12	13	14	15	16	17	18
-0,00053	0,000201	0,000025	-0,00005	0,000015	0,000004	-5E-06	0,000001	0

Рисунок 6- Импульсная характеристика

Таблица 6- Данные

0	1		2	3	4	5	6	7	8		9
0,199313	-0,279677		0,072813	0,026705	-0,02536	0,004873	0,003119	-0,00224	0,000276		0,000337
10		11	12	13	14	15	16	17
-0,00019		0,00001	0,000034	-1,6E-05	-1E-06	0,000003	0	0

Рисунок 7- Переходная характеристика

3. Цель работы: Освоение методов моделирования цифровых ФНЧ.

Выполнение работы:

Разностное уравнение:

Таблица 7 - Данные

0	1	2	3		4	5	6	7	8	9
1	1,2087	0,252256	0,052646		0,010987	0,002293	0,000479	0,0001	0,000021	0,000004
10		11
0,000001		0

Рисунок 8- Импульсная характеристика

Таблица 8 - Данные

0	1	2	3		4		5	6	7
1	1,793	1,626156	1,660621		1,663428		1,65493	1,654616	1,654682
8	9	10		11
1,654668	1,654671	1,65467		1,65467

Рисунок 9- Переходная характеристика

3.1 Реакция на произвольное входное воздействие.

3.1.1

Таблица-Данные

0	0
1	1,772807
2	3,298522
3	3,442792
4	3,909242
5	5,124018
6	5,691612
7	5,745357
8	7,108652
9	9,688591
10	11,29057
11	11,44204
12	11,90917
13	13,12401
14	13,69161
15	13,74536

Выходной сигнал

Рисунок 10 - Выходной сигнал

входной сигнал:

Рисунок 11- Входной сигнал

4. U_вх(n)=0 при n=0,1,2,3; U_вх(n)=1 при n=4,5,6,7;

Рисунок 12 - Входной сигнал

В ыходной сигнал:

0	0
1	0
2	0
3	0
4	1
5	2,2087
6	2,460956
7	2,513602
8	1,524589
9	0,318182
10	0,066405
11	0,013859
12	1,002892
13	2,209304
14	2,461082
15	2,513628

Рисунок 13- Выходной сигнал

Рисунок 4- Выходной сигнал

Рисунок 5- Пример программы для расчета характеристик на языке Бейсик

Задание