0. Умовні ймовірності

Почнемо розгляд цього питання з прикладу, використовуючи лапласівське означення імовірностей, тобто будемо виходити із моделі з рівно ймовірними (рівно можливими) елементарними наслідками ( див. у п. 1.2. класичне означення імовірності).

Приклад 1.6. Розглянемо однократне підкидання грального кубика. Тут , де - кількість очок на верхній грані , Розглянемо події: - випало два очка; - випала парна кількість очок. Імовірність цих подій, згідно з класичним означенням імовірності, . Нехай в результаті однократного підкидання кубика виникла подія . Тоді можна розглянути подію - випадання двох очок за умови, що випала парна кількість очок. Очевидно імовірність цієї події .∙

Таким чином ми приходимо до поняття умовної події і умовної імовірності .

Зупинимось на більш строгих означеннях співвідношень для умовних імовірностей. Якщо розглядається імовірність події за умови, що виникла подія , то така імовірність називається умовною і позначається символом . При означенні умовної імовірності первинний (визначений для експерименту, здійснення якого привело до появи події ) простір елементарних подій після виникнення події переходить (звужується) до простору елементарних подій і складається з тих елементарних подій де - кількість елементарних подій, із яких складається подія , при появі яких виникає подія .

Якщо звернутись до прикладу 1.6, з якого ми починали даний підрозділ, то .

Означення 1.1. Умовною імовірністю події за умови події з називається величина

.

Ми приходимо до нового (звуженого) імовірнісного простору:

F , ,

де присутні всі три елементи імовірнісного простору:

- простір елементарних подій;

F - система (алгебра) подій;

- імовірність (умовна).

Із означення умовної імовірності випливає формула :

, (1.3)

яка носить назву формули множення імовірностей.

Аналогічно можна ввести умовну імовірність

і тоді формула множення імовірностей набуде виду

. (1.4)

Обидві формули рівнозначні.

Властивості умовних імовірностей:

1.

2. якщо

3.

4.

Зокрема, із властивостей 2 і 4 випливає

5.

Означення 1.2. Подія незалежна від події , якщо має місце рівність

Якщо подія незалежна від події , то і подія є незалежною від події , тобто

Для незалежних подій формули множення імовірностей (1.3) і (1.4) набувають такого виду:

. (1.5)

Приклад 1.7. Незалежними є похибки в двох вимірюваннях, виконаних різними спостерігачами різними приладами.∙

Означення 1.3. Події називаються незалежними у сукупності, якщо для будь-якої події із їх числа і довільних із їх числа події і взаємно незалежні.

Це означення еквівалентно наступному

для усіх .

Із означення 1.3 випливає узагальнення формули множення імовірностей (1.5) для незалежних у сукупності подій :

.

Можна також отримати узагальнення формул множення імовірностей (1.3) і (1.4) на випадок залежних подій

.

В багатьох реальних ситуаціях та чи інша подія може з’явитися лише як випадковий наслідок однієї із несумісних подій , які складають повну групу подій і називаються гіпотезами. Зауважимо, що термін „випадковий наслідок” означає, що кожна із гіпотез може призвести до появи не тільки події , але і деяких інших подій (див. рис. 1.3).

Рис. 1.3. Умовне графічне зображення схеми гіпотез

Приклад 1.8. Маємо три урни, в кожній з яких містяться червоні, чорні та білі кульки. Вибирається навмання одна із урн і виймається із неї одна кулька. В цьому експерименті маємо три гіпотези ( ): - вибір першої урни; - вибір другої урни; - вибір третьої урни. При виборі однієї із урн (гіпотез) і вийманні потім однієї кульки можуть виникнути такі несумісні події: - колір кульки червоний; - колір кульки чорний; - колір кульки білий.

В схемі гіпотез робиться припущення, що відомі імовірності гіпотез і відомі умовні імовірності події для кожної з гіпотез: . Ставиться задача: визначити безумовну імовірність події , при обчисленні якої приймаються до уваги всі випадки (гіпотези), наслідком яких може бути подія . Аналогічним чином може ставитись задача і відносно подій і т.д.

Приклад 1.9. Якщо звернутися до прикладу 1.8 і вважати що шанси вибору кожної із урн рівноцінні, то імовірності гіпотез . Умовні ж імовірності подій і залежать від кількості кульок у кожній із урн і їх розподілу за кольорам. Наприклад, якщо в першій урні всього кульок 10 і з них 5 – червоних, 1 – чорна і 4 – білих, то .

Відзначимо, що подія тоді і лише тоді, коли виникає одна із подій , причому, ці події несумісні, так же само як і гіпотези . Тому, згідно з правилом складання імовірностей несумісних подій (див. аксіому 3)

. (1.6)

Застосовуючи теорему множення імовірностей (1.3), отримаємо

. (1.7)

Підставляючи тепер (1.7) в (1.6), знаходимо безумовну ймовірність події

.

Остання формула в літературі отримала назву формули повної імовірності.

В цій же схемі гіпотез можна ставити і розв’язувати і таку задачу. Нехай здійснено випробування і виникла подія . Ставиться запитання: з якою із гіпотез слід пов’язати появу події У зв’язку з тим, що викладена ситуація є імовірнісною, то і відповідь на поставлене запитання може бути лише імовірнісною а не детерміністичною. Для вирішення поставленої задачі потрібно обчислити умовну імовірність кожної із гіпотез за умови настання події : . Віддається перевага тій із гіпотез, для якої буде найбільшою знайдена умовна імовірність. Як же знайти

На основі формул множення імовірностей (1.3) і (1.4) для імовірності сумісної появи події і гіпотези маємо

. (1.8)

Беручи до уваги праву рівність в (1.8), запишемо

.

Але за формулою повної імовірності

.

Отже

Останнє співвідношення отримало в літературі назву формули оберненої імовірності або формули Байєса.