
4. Процедура получения оценок максимального правдоподобия
В основе метода максимального правдоподобия лежит исходное предположение о том, что “лучшим” оценкам a0*, a1*,..., an* “истинных” значений параметров эконометрической модели 0, 1,..., n должен соответствовать наиболее вероятный набор “фактических” значений ошибки е1*, е2*,..., еT*, рассматриваемых как “своего рода оценки” ее истинных значений 1, 2,..., T и поэтому удовлетворяющих предположениям об iid-свойствах.
Таким образом, максимум произведения р(е1)р(е2)...р(еТ) соответствует наиболее вероятному сочетанию значений t, t=1, 2,..., T, обеспечиваемому “наилучшими” оценками параметров модели. При этом имеется в виду, что для произвольного набора значений фактической ошибки е1,е2,...,еT произведение вероятностей р(е1)р(е2)...р(еТ ) в данном случае выражает вероятность совместного распределения их значений, соответствующих определенному набору оценок параметров a0, a1,..., an.
С учетом этого, оценки параметров эконометрической модели могут быть получены в результате максимизации целевой функции следующего вида:
по известным значениям зависимой переменной уt и матрице значений независимых факторов Х размера Т(п+1).
y
=
Х
=
,
(2.110)
Оптимальные значения оценок параметров a0*, a1*,..., an* и дисперсии фактической ошибки e2, соответствующие ее максимуму, должны обеспечивать и максимум ее логарифма. Иными словами, при определении значений этих оценок можно решать задачу максимизации
В условиях независимости разновременных ошибок t и t–i
Оптимальные значения a0*, a1*,..., an* и e2 в этом случае могут быть найдены путем решения системы из п+2 дифференциальных уравнений в частных производных по этим параметрам:
В векторно-матричной форме:
у=Х+, (2.113)
вектор ошибки можно представить в виде:
=у –Х, (2.114)
а последнее слагаемое в выражении (2.111) записать как скалярное произведение вектора ошибки строки на ее столбец. С учетом этого
(у–Х)(у
–Х).
(2.115)
Дифференцируя выражение (2.115) по неизвестному вектору параметров и по неизвестной дисперсии ошибки 2, получим следующую векторно-матричную форму записи системы (2.112):
l/
=
(–
Ху+
ХХ)=0;
l/2=
(у
–Х)(у
–Х)=0.
(2.116)
Поскольку 20, из первого уравнения системы (2.116) непосредственно получаем вектор оценок ММП коэффициентов линейной эконометрической модели в следующем виде:
a*=a=(ХХ )–1Ху, (2.117)
а из второго – оценку ММП дисперсии ошибки эконометрической модели:
е2
=
(у
–Хa)(у
–Хa)=