1.4. Кинематические следствия из преобразований Лоренца

     Рассмотрим линейку, неподвижную в I, размещенную параллельно оси абсцисс. Длина линейки , где и - координаты концов линейки в этой системе I.

     В системе II длина этой линейки , где и следует брать в один и тот же момент . По преобразованию Лоренца

     

     Вычитая, находим

     

     Длина предмета в системе отсчета, в которой он покоится, называется собственной длиной (здесь - ). Она наибольшая. В системе, относительно которой линейка движется, она короче , и тем короче, чем больше ее скорость V. Следовательно, длина не является понятием абсолютным (безотносительным к системам отсчета), как принимается в ньютоновой механике.

     Пусть в неподвижной точке системы II произошли два события: первое - в момент , второе - в момент . Промежуток времени между этими событиями . По формулам Лоренца

     

     Вычитая значения моментов времени , находим

     

     Видно, что здесь больше, чем . В системе отсчета, в которой часы покоятся, промежуток времени наименьший. Его называют собственным временем. Иногда этот результат выражают словами: в движущемся теле процессы замедляются.

     Примечание 1. В ньютоновой механике сложение скоростей в данной системе отсчета производится по правилу параллелограмма. В СТО это правило также имеет место, если пользоваться только одной отдельно взятой инерциальной системой, а не переходить из одной ИСО в другую, движущуюся.

Примечание 2. При рассмотрении конкретных вопросов полезным бывает следующее представление. В каждой точке пространства имеется двое часов: одни принадлежат системе отсчета I (часы неизменно связаны с системой I), другие " системе II. Движущееся по траектории тело (точка) непрерывно "проходит" по упомянутому множеству часов. Их показания и (каждый раз в месте нахождения движущегося тела) и есть время, входящее в функции координат и также . При этом, разумеется, все часы системы I идут синхронно с базовыми часами в начале О этой системы I, а часы системы II - синхронно с базовыми в начале O' системы П, движущейся относительно I со скоростью V вместе со всеми своими часами.

1.6 Интервал между событиями и собственные параметры частиц

     Начальным элементом кинематики является элементарное перемещение точки, определяемое тройкой величин , геометрические свойства которой обуславливают свойства многих последующих звеньев цепочки. Свойства эти заключаются в том, что при повороте осей декартовой системы координат, величины переходят в новую тройку по правилу преобразования координат точек пространства - как проекции направленного отрезка. Если для удобства записи обозначить через , то правило преобразования координат при повороте осей дается таблицей

     

	X1	X2	X3

     где штрихами обозначены новые (после поворота осей) координаты, а -косинусы углов между осями: i-й новой и k-ой старой (до поворота), .

     Пользуясь таблицей, легко выразить новые значения координат через старые и наоборот:

     

(1.9)

     Сокращенно эти формулы записываются в виде (для i=1,2,3 и k=1,2,3)

     

     или, в предложенном Эйнштейном виде:

     

     где опускается знак суммирования и принимается условие: по индексу, который повторяется, берется сумма, то есть i,k = 1,2,3.

     Учитывая, что такой же закон преобразования (1.9) сохраняется и для многих последующих звеньев логической цепочки (для перемещения, скорости, ускорения, силы, количества движения и пр.), в физике вводят понятие трехмерного вектора.

     Всякая трехкомпонентная физическая величина ( ), составляющие которой преобразуются при повороте декартовых осей так же, как декартовы координаты точек, называется трехмерным вектором и обозначается одной буквой со стрелкой над ней: или просто (сокращенно: 3-вектор).

     В соответствии с приведенным определением, компоненты 3-векторов классической механики преобразуются при повороте осей декартовой системы координат по формулам

     

,

(1.10)

     где - компоненты до поворота осей, а - после.

     Рассмотрим подробнее логическую цепочку, на основе которой строится ньютонова механика. Эта цепочка состоит из нескольких частей. В самом начале на основе изменения радиус-вектора точки вводится элементарное ее перемещение ; вслед за ним - скорость , т.е. вектор , затем ускорение , вектор .

     Теперь необходимо пройти такой же путь, насколько это возможно, на новой логической основе, опираясь на постулаты Эйнштейна и вытекающие из них преобразования Лоренца. Нужно будет обобщить как сами физические величины, так и связи между ними с учетом достигнутого уровня современной экспериментальной физики.

     Ньютонова механика строится на известных представлениях о свойствах пространства и времени. Важнейшее из них - инвариантность расстояний между точками пространства при повороте осей декартовой системы, (в развернутом виде это равенство имеет вид ) и также инвариантность времени, (выполняется во всех системах отсчета). Эти инварианты свойственны также и переходу I II как при , так и при , что означает сохранение длины трехмерного вектора перемещения и интервала времени между событиями.

     В теории относительности оба эти инварианта также имеют место, но лишь при параллельном сдвиге и повороте осей системы отсчета; они не выполняются при переходе I II , когда система II движется относительно I. Однако, как оказалось, из преобразований Лоренца следует инвариантность некоторой комбинированной пространственно-временной физической величины при переходе от инерциальной системы отсчета I к равномерно движущейся относительно нее системе II. Упомянутая величина называется интервалом между двумя событиями. Преобразования Лоренца и интервал играют определяющую роль в отношении свойств пространства и времени в СТО.

     Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета I произошли два события и . Интервалом между этими событиями называется физическая величина , квадрат которой в системе I равен

     

(1.11)

     В соответствии с этим определением, в системе отсчета II, которая движется со скоростью V направлении оси абсцисс, квадрат интервала между теми же событиями равен

     

     Докажем, что , т.е., что численное значение интервала между двумя любыми событиями одно и то же (в системе П. числено оно такое же, как в системе I). Поскольку и , то достаточно доказать усеченное равенство

     

     Воспользуемся преобразованиями Лоренца для дифференциалов (они не отличаются от преобразований для координат, поскольку эти последние преобразования линейные)

     

     и составим разность

     

Это равенство и доказывает инвариантность интервала.

     Итак, в СТО при повороте декартовых осей (и параллельном их сдвиге) инвариантами являются квадрат расстояния dx²+dy²+dz² и время dt по отдельности. Но при переходе от системы I к движущейся системе II инвариантом является квадрат интервала ds² =c²dt² -dx² -dy² -dz², тогда как значения расстояния и промежуток времени по отдельности не сохраняются. Инвариантность интервала между двумя событиями - это математическое выражение постоянства скорости света в любой системе отсчета.

     Если , то интервал называется светоподобным, если - мнимый. , ингервал называется пространственноподобным, и при вещественном - времениподобным. Для пространственноподобных интервалов можно всегда указать такую систему отсчета, где два события происходят одновременно. Причинная связь между двумя со-бытиями возможна только, если интервал между ними времениподобный.

     Из инвариантности интервала следует инвариантность еще одной важной физической величины - собственного времени движущегося тела. Это понятие дает возможность построения всей цепочки мер движения в СТО, а значит и построения всей теории вообще.

     Собственным временем частицы называется время, которое измеряется по часам, связанным с движущейся частицей. Для пояснения приведем простой пример: время, измеренное по часам движущейся произвольно ракеты, - это и есть собственное время ракеты (команды, находящейся в ракете).

     Пусть мгновенная скорость частицы в некоторой ИСО I есть . В этой инерциальной системе I приращения координат и времени для частицы равны и , а в системе координат, в которой частица в данный момент покоится, приращения координат и времени суть и .

     Инвариантное значение квадрата интервала представляется в виде

     

(1.12)

     откуда

     

     где dl - путь частицы в системе I, - мгновенная скорость частицы.

     Окончательно

     

(1.13)

     где V - скорость частицы в ИСО I.

     Время - это и есть собственное время движущейся частицы. Оно измерено в системе отсчета, в которой частица неподвижна в данный момент (эта система принимается инерциальной в течение элементарного промежутка времени). Важным свойством собственного времени есть его инвариантность при преобразованиях Лоренца, что видно из (7.12): . По аналогии с собственным временем собственными параметрами частицы называют их значения, измеренные в той системе отсчета, где тело покоится. К ним относятся, в частности, собственная длина и собственная масса (масса покоя). В соответствии с первым постулатом Эйнштейна эти собственные параметры одинаковы во всех ИСО.