Эти понятия являются первоначальными. Ввиду большого разнообраз случайных событий нельзя дать более конкретного определения. Рассмотрим ряд примеров, поясняющих выбор множества Е.

Пример 1. Опыт состоит в бросании Монеты один раз. Возможными исходами при этом будут - выпадение герба или цифры. Тогда Е = {е,, еЛ где е₁ - выпал герб, е₂ - выпала цифра.

Пример 2. Брошена игральная кость. Здесь Е = {е_{, е₂е_й}, е₁ .

Пример 3. Работа телефонной станции. Нас интересует число поступивших вызовов в течение суток. Тогда Е = {е,, е_г,..., е. - событие, состоящее в “г — 1” вызовах в течение суток.

Пример 4. Нас интересуют траектории частиц при броуновском движении. Здесь Е = (x(f), y(t), z(t)} , где x(t), y(t), z{t) - непрерывные функции времени t.

Определение 2. Случайным событием или просто событием называется любое подмножество множества Е.

Введём операции над событиями, совпадающие с операциями над множествами.

1.3. Операции над событиями

Определение 3. Если всякий раз, когда происходит событие А в данном опыте происходит и событие В, то говорят, что А влечет за собой событие В и пишут А а В .

Проиллюстрируем это понятие на схематичном рисунке.

П ример 5. При бросании игральной кости рассмотрим два события:

1. А - выпадение четырёх очков;

2. В - выпадение четного числа очков.

Тогда A cz В, т.е. событие А влечет

за собой событие В.

Ьсли же А с. В vl В а А , то А = В ,

Определение 4. Суммой двух событий А и В называется событие А + В или A<JB, состоящее н появлении по крайней мере одного из событий А или В.

Определение 5. Произведением двух событий А и В называется со­бытие АН или АпВ, состоящее в одновременном появлении событий

А и В.

П

цц

ример 6. Опыт состоит в подбрасы­вании двух монет:

А - выпадение герба на первой монете:

В - выпадение герба на второй монете Тогда А + В - выпадение хотя бы одного герба, А-В — выпадение двух гербов одновременно.

О пределение 6. Разностью двух событий А а В называется событие А - В или А \ В , состоящее в появлении события А без события В. Пример 7. Брошена игральная кость.

Рассмотрим два события:

А - выпадение четного числа очков;

В - выпадение двух очков.

Тогда событие А - В - выпадение

четырех или шести очков.

Определение 7. Событие Е называется достоверным событием, т.е. это такое событие, которое в результате опыта непременно произойдёт.

Определение 8. Пустое множество 0 называется невозможным собы­тием, т.е. это событие, которое в данном опыте не может произойти.

О пределение 9. Событие А-Е-А называется событием, противоположным событию А, Событие А означает; '* что^; событие А не произошло.

>лТ:ч <ЖНН1

Определение 10. События А и В называются несовместными событиями, если А -В = 0 . Это означает, что наступление А исключает появление В.

П ри этом Е = 0 .

Пример 8. Брошена монета.

Рассмотрим два события:

А - появление герба;

В - появление цифры.

Очевидно, что А и В-несовместные события.

Определение 11. События А₁,А₂,...,А_Н образуют полную группу событий, если:

1. Они попарно несовместны, т.е. А, ■ А₎ — 0, / * /;

2. А, + А₂ + ..^;! + у4„ = Е.

Пример 9. Брошена игральная кость. Тогда события - появление

очков (/ = 1, 2, ..., 6) образуют полную группу событий.

Пример 10. А+Л = Е, А + А — А, ^•/4=0.

Пусть осуществляется п опытов, в результате которых может либо пройзойти, либо не произойти событие А. Тогда частотой события | называют число

. . .. к(А)

рЦА)

п

где к{А) - число появлений события А в п опытах.

Из'определения частоты следуют её основные свойства: -

1. О < р * (А) < 1, так как 0 < к(А) < п ;

2. р*{Е) = 1;

3. р*(0) = 0.

Итак, каждому событию А мы поставили в соответствие его числовую характеристику - его частоту. Но понятие частоты не удобно по двум причинам: «...

1. Частота изменяется при изменении числа опытов.

2. Частота зависит от самой серии опытов, т.Е. Если серию опытов повторить, то частота может быть другой.

В тоже время длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты и число их велико, то частота обладает свойством устойчивости. Это означает, что в опытах частота изменяется тем меньше, чем больше произведено испытаний. Подтверждением этого являются исторические примеры:

Число испытаний Число появлений герба Частота

Бюффон 4040 2048 0,5080

Пирсон 24000 12012 0,5005

Вывод. Статистический подход к понятию вероятности состоит в том, что рассматриваемому случайному событию, обладающему свойством ста; ист и чес кой устойчивости при большом числе испытаний, можно придать числовую характеристику, которая незначительно отличается от частоты. Это число называется статистической вероятностью.

В рассмотренном примере, очевидно, что в качестве статистической вероятности можно взять число 0,5.

Еще ОДИН пример, как известно, статистическая вероятность рождения мальчика равна 0,51, а девочки - 0,49. ш

Для изучения дальнейшего материала нам понадобятся некоторые понятия из комбинаторики:

[у Перестановки.

, Пусть дано множество М, состоящее из п элементов. Если переставлять эти элементы всевозможными способами, сохраняя их количество, то получим последовательности, каждую из которых называют перестановкой из п элементов.

Число перестановок из п элементов Р_п - п\= 1 -2•...• П.

Пример 1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2, 3,4 и 5?

По формуле для числа перестановок находим количество всевозмож­ных пятизначных чисел Р₅ = 5! = 1-2-3-4-5 = 120.

Более общим является случай, когда множество из п элементов раз­бито на к групп одинаковых элементов, причем в каждой 1-той группе содержится Щ элементов (п-п₁+п₁+...+п_к). в этом случае число раз­личных перестановок п элементов (с повторениями элементов данных групп) вычисляется по формуле

п!

РЛп., п₂, -.

^П1 ! ^п2 V

Пример 2. Сколько различных десятизначных чисел можно сложить из множества цифр (1,1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3) ?

По формуле для перестановок с повторениями находим количество раз-

11 (₄ з ЗІ ^10? -^3628800-1200

личных десятизначных чисел ¹⁰' ’ ’ ^ 4; 3131 24-6-6

[2] Сочетания.

Всякое подмножество, содержащее к элементов данного множества М, состоящего из п элементов, называется сочетанием из п элементов по к.

_к п\ л(и-1)(и-2)-...(л--Л: + 1)

Число сочетаний ^С" ⁼ *_!(и__А)! ⁼ 1-2-3-...-*

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать трех из группы в 11 студентов?

По формуле для числа сочетаний находим количество возможных

з, 11! _ 111 _ 11109

способов выбора Чи ^ з;п і_3)| ~ 3!-8! ~ Г2-3 ⁼

1 Размещения.

Всякое упорядоченное подмножество, содержащее к элементов данное множества М из п элементов, называется размещением из п элементов по Л

Число размещений 4» “ , _ ^“ ^п (^п 1) ’ (^{и —} 2) •... • (и - А +1)^

Пример 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4 и 5?

По формуле для размещений находим количество всевозможных трех.

з 5| 5!

значных чисел ^5 ^{= =} 27 ⁼ 5-4-3 = 60.

Замечание. Часто при решении задач число п достаточно велико, поэтому в таких случаях полезно использовать формулу Стирлинга

и!» уіілп п" е~^п .

[4^ Основные правила комбинаторики.

Правило суммы. Если некоторый объект В_х можно выбрать п разными способами, а объект В ₂ можно выбрать т разными способами, причем никакой выбор В _х не совпадает ни с каким выбором В ₂, то один из объектов В, или В ₂ можно выбрать п + т способами.

Пример 5. На двух полках находится 35 и 40 книг соответственно. Сколькими способами можно выбрать одну книгу?

По правилу суммы находим число всех возможных способов выбора п+т = 35<± 40 = 75.

Правило произведения. Если некоторый объект В, можно выбрать п разными способами и при каждом выборе объекта В_х объект В₂ можно выбрать т разными способами, то выбор пары объектов (5,, В₂) можно осуществить п • т способами.

Пример 6. В груше 20 студентов, из них 8 юношей и 12 девушек.

Сколькими способами можно выбрать одного юношу и одну девушку

для участия в конкурсе?

Каждый из П = 8 вариантов выбора юноши может комбинироваться с одним из т - 12 вариантов выбора девушки, поэтому по правилу произведения число способов выбора пары равно П'Ш- 812 = 96.

Пример 7. В іруппе 20 студентов, из них 8 юношей и 12 девушек.

Сколькими способами можно выбрать двух юношей и трех девушек для участия в конкурсе?

Каждый из С * вариантов выбора двух юношей может комбинироваться і одним из С,₂ вариантов выбора девушки, поэтому но правилу произведения

^ - - С²-С³ - — .¹²'¹¹'--" = 28 220 = 6160.

число способов выбора равно ^ 1-2-3

Это определение относится только к тем опытам, у которых ВОЗМОЖНО конечное число равновозможных исходов. Исходы яилямэтся равновошож- ными, если нет оснований считать, что ни один из них будет более во> можным, чем другие. Например, если брошена игральная кость, то исходи: выпало одно очко, - два очка, - шесть очков - являются равно-

возможными.

. т

Определение 1. Вероятностью события А называется число *\А) —,

п

где п - число всех исходов опыта, а т - число исходов, благоприятных появлению события А.

Из определения следуют основные свойства вероятности:

1. < Р(А) й \, так как 0 £ т £ п;

2. Р(Е) = 1, так как в этом случае т = п ;

3. -Р(0) ⁼ 0 , так как в этом случае т = 0.

Пример 8. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что выпадет в сумме три очка.

Пусть А - интересующее нас событие. Благоприятные исходы: (1,2) и (2, 1), т.е. т = 2 . Число общих исходов определяем из того, что каждое число очков на одной кости может сочетаться с шестью вариантами числа

т _ 2 _ 1

очков На другой кости, т.е. и = 6-6 = 36. Тогда "И) - — - — - —.

П Зо I о

Пример 9. Абонент забыл последние три цифры семизначного номера и, помня, что они различные, набрал их наугад. Найти вероятность того, что он набрал правильный номер.

Пусть А - интересующее нас событие. Очевидно, что т = 1. Число различных вариантов набора трёх различных цифр из десяти будет равна

т«то

Пример 10. Некий гражданин купил карточку лото и наугад отметил 6 номеров из 49. Найти вероятность того, что он правильно угадал к номеров из 6 (0 < к < 6) .

Пусть А - интересующее нас событие. Общее число исходов ^6 ' • 49! ' 6!

49 - ^ | ^ ^ і • Число угаданных ^{6 -} к\-(6-к)\ ’ ^{каждьш из эгих}

43!

вариантов может сочетаться с одним из '-♦з ~ (б-£)!-(37 + А)1 ^нвЧ*‘ вильных вариантов.

Тогда

т CfCfc* _ 6!• 43 !• 6!• 43i

^Р^~ п I С₄⁶₉ 49!- к! (37 + к)\-((6 -

Кстати, при к-3 => Р(А) = 0,0176.