15. Двойственный см

Отличается от обычн СМ тем, что свободные члены сис-мы ограничений мб любыми, а не обязательно положительными.

Пусть в задаче ЛП векторы P1, P2…Pn явл единичными, тогда можно записать задачу ЛП: Y=c1x1+c2x2+…+cnxnmax (1)

При ограничениях: x1P1+x2P2+…+xmPm+…+xnPn=b (2) ; xj>=0, j[1,n] (3)

x=(b1,b2…bm,0,…,0) явл решением сис-мы урав-ний вида (2). Но это решение не явл допустимым решением всей Зи (1-3) , тк среди компонентов в-ра x есть отрицательные числа.

Тк в-ра P1-Pm единичные, то любой из оставших производных в-ов Pj, j[1,n]можно представить в виде линейной комбинации этих в-ов. При этом коэф-тами разложения будут явл некоторые числа y_ij. Следовательно, можем найти значение величины dj=Yj-Cj=ci*yij-Cj

Решение системы уравнений, определяемое базисом P1…Pm называется псевдопланом Зи, если все dj>=0.

Теорема 3

Если в псевдоплане, определяемым базисом P1…Pm, есть хотя бы одно отриц-ое число, такое что все yij>=0, то задача вообще не имеет плана.

Теорема 4

Если в псевдоплане, определяемым базисом P1…Pm, есть хотя бы одно отрицательное число, такое что хотя бы одно y_ij<=0, то можно перейти к новому опорному плану, при котором значение целевой ф-ии не уменьшится.

Алгоритм решение Зи ДСМ

1. находят псевдоплан Зи

2. проверяют этот псевдоплан на оптимальность, если этот план оптимален, то найдено решение Зи, иначе либо устанавливают неразрешимость Зи, либо переходят к новому псевдоплану.

3. Выбирают разрешающую строку с помощью определения наибольшего по абсолютной величине отрицательного столбца в-а b, и разрешающий столбец с помощью нахождения наименьшего по абсолютной величине отношения элементов (m+1) строки, соответствующей отрицательным элементам неотрицательной строки.

4. Находят новый псевдоплан и повторяют все действия, начиная со второго.

Экономическая интерпретация двойственности

Из теории СМ следует, что если для задачи максим-ии Yj-cj<0, то увеличение условия j-го вида производ-ной деят-сти связано с потенциальной возможностью увеличения ЦФ, те можно записать Yj=C_B*B^(-1)Pj=a_ij*y_j, где yi – стоимость единицы ресурса i. Yj может рассматриваться как стоимость необходимых для производства ед-цы уровня j-ой производ-ной деят-сти.

Условие Yj-Cj<0 означает, что удельная стоимость ресурсов Yj необходимых для увеличения уровня j-ой производ-ной деят-сти на ед-цу меньше, чем удельная прибыль cj, следовательно xj перем-ные можно вводить в базис.

Известная экономическая модель русского ученого Леонтьева называется "затраты-выпуск". Модель описывает экономическую систему, состоящую из ряда взаимосвязанных отраслей. Каждая отрасль выпускает один вид продукции и использует единый технологический процесс, те вход или затраты каждой отрасли представлены рабочей силой, продуктами др отраслей, продуктами от внешних источников. Необходимо определить объем выпуска каждой отрасли, кот. бы удовлетворял как спрос других отраслей данной эконом-ой сис-мы, так и внешние потребности.

Пусть имеется n отраслей; xi‑ объем производства i –ой отрасли. Допустим, что потребность отрасли j в продукции отрасли i пропорциональная величина xj, а коэф-т пропорциональности=aij. Если внешний спрос на продукт i-ой отрасли = bi , то модель, связывающая затраты и выпуск м.б. представлена как xj>=aij*xj+bi; x>=0 - это требование обычно всегда вытекает из экономической постановки задачи.

Будем считать, что Cj- характеризует потребность в рабочей силе, приходящейся на единицу произ-ва в j-ой отрасли.Тогда поставленная задача формулируется так:

Y=cxmin

(I-A)x>=b

x>=0

Тк c>=0 и условие x>=0 в силу принятого допущения выполняется автоматически, оптимальное решение принимает вид : x=(I-A)^(-1)*b. Это уравнение определяет уровни производства в каждой отрасли, в которых спрос на продукцию определяется по min поторебности в рабочей силе.

Рассмотрим задачу , двойственную к данной.:

S=ybmax

y(I-A)<=c, y>=0

y=c(I-A)^(-1)

Оптимальное значение переменных двойственной задачи yj в данной модели рассматривается как цена единицы i-го продукта, и данная модель может использоваться для ценообразования, если сделано допущение, что ставка зарплаты явл фиксированной. Данную модель можно использовать также для анализа влияния изменения ставки заработной платы относительно фиксированного уровня, путем искусственного уменьшения или увеличения компонентов в-ра с.