8. Общая линейная распределительная задача

Постановка

Пусть предприятие изготавливает изделия четырех видов U1, U2, U3, U4. Известно, что для изготовления необходимо использовать оборудование 3-х видов Q1, Q2, Q3, известно сколько времени требуется на изготовление каждого вида изделия на каждом оборудовании. Известен фонд работы оборудования, те ско-ко времени это оборудование может работать. Известно какую прибыль можно получить при реализации каждого изделия. Необходимо так распределить изделия по оборудованию, чтобы получить max суммарную прибыль.

Обозначения:

bi – ресурс оборудования i-го вида

aij – время изготовления j-го изделия на i-м оборудовании

Cj – прибыль от 1-го изделия j-го вида

xj –кол-во изделий j-го вида, которое необходимо выпустить

Решение

Решение РЗ как и ТЗ разбивается на 2 этапа. На первом - находится любое решение, удовлетворяющее ограничениям. Этот этап также называется отысканием опорного плана. На втором осуществлляется последовательное улучшение плана. Для решения РЗ на втором этапе сущ-ет несколько методов. Наиболее распространенным и эффективным из них явл Симплекс-метод.

Алгоритм

1. Выражение целевой ф-ии через небазисные переменные

2. Проверка базисного решения на оптимальность. Если в полученном выражении целевой ф-ии все коэ-ты при небазисных переменных не отрицательны, то исходный базис явл оптимальным и находится соответствующее базисное решение, максимизирующее целевую ф-ию. Для этого всем небазисным переменным присваивается 0, а значение базисных переменных находится из системы ограничений. После чего задача считается завершенной. Если в полученном выражении целевой ф-ии хотя бы один коф-т при небазисных переменных отрицат., переходят к следующему этапу.

3. Проверка задачи на наличие решения

Если при какой-либо небазисной переменной, имеющей отрицательный коф-т целевой ф-ии окажется, что столбец коэ-ов при этой же переменной в системе ограничений состоит из одних неположительных чисел, то max целевой ф-ии неограничен, задача решения не имеет

4. Выбор из небазисных переменных той, которая способна при введении ее в базис увеличить зн-ее ее целевой ф-ии. Наиболее простой и чаще всего применяемый способ состоит в выборе небазисной переменной, которой соответсвует наибольший отрицательный коэф-т в целевой ф-ии.

5. Определение, какая из базисных переменных д.б. выведена из базиса и сделана небазисной. Для всех положительных коэ-ов столбца при вводимой переменной определяют отношение соответствующего свободного члена к соответствующему коэ-ту столбца. Минимальное из полученных отношений указывает указывает строку выводимой из базиса переменной.

6. Выражение вводимой переменной, через переменную, которую выводим из базиса и через другие небазисные переменные

7. Выражение остальных базисных переменных и целевой ф-ии через новые небазисные переменные

8. Повторениее операций, указанных в пунктах 2-7 до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение.

Правила заполнения симплекс-таблицы

1. Проверим базисное решение на оптимальность. Просматриваем знаки коэ-ов целевой ф-ии, кроме коэ-ов при свободных членах. Наличие отрицательных коэф-ов в последней строке говорит о том, что данное решение еще не оптимальное.

2. Проверим задачу на наличие решения.

3. Выбираем из небазисных переменных ту, которая способна при введении ее в базис увеличит значение целевой ф-ии, те выбираем ту переменную, которая имеет наибольш отр коэ-т в последней строке и отмечаем ее *

4. Определение, какая из базисных переменных д.б. выведена из базиса и сделана небазисной. Для всех положительных коэ-ов столбца при вводимой переменной определяют отношение соответствующего свободного члена к соответствующему коэ-ту столбца. Минимальное из полученных отношений указывает указывает строку выводимой из базиса переменной. Эту строку оотмечаем *. Коэ-т, который находится на пересечении столбца и строки со * называется разрешающим. Его принято помещать в квадрат.

5. Выражение вводимой переменной, через переменную, которую выводим из базиса и через другие небазисные переменные. Для этого составляем следующую таблицу. Делим строку предыдущей таблицы, отмеченную * на разрешающий элемент и результат записываем в новую таблицу.

6. Выражение остальных базисных переменных и целевой ф-ии через новые небазисные переменные. Для этого полученная строка в новой таблице уменьшается на такое число, чтобы после сложения с преобразуемой строкой предыдущей таблицы в столбце с новой базисной переменной появился 0.

Часто некоторые или все переменные xj в задачах ЛП бывают ограничены снизу, те xj>=dj, те наложено более жесткое ограничение по отрицательности. Для решения в этом случае исп-ся СМ, но предварительно выполняется следующ замена переменных xj^//=xj-dj и решение выполняется обычным образом.

Для получения начального плана существует несколько алгоритмов, среди которых часто используется М-метод и метод искусственного базиса, характерной особенностью которого явл то, что при решении задач ЛП на 1 этапе можно использовать СМ.

9. Ранг матрицы – мах число линейно-независимых столбцов матрицы А. (ранг матрицы можно выразить через число линейно независимых строк)

Расширенная матрица – Ab = (A, b) с-мы ур-ий Ax=b

Система ур-ий называется однородной, если b =0. Решение х =0 всегда явл решением однородной с-мы и называется тривиальным решением

Для того, чтобы сущ-ли нетривиальные решения необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А был меньше n, где n – кол-во переменных в системе.

Пусть имеется система m уравнений с n переменными, для которой ранг матрицы ограничений = рангу расширенной матрицы и =m r(A )=r(Ab )=m

Из матрицы А выберем подматрицу порядка m и обозначим ее через B

Xb = вектор, содержащий переменные, соответствующие столбцам столбцам матрицы B

Через Xk = обозначим вектор, содержащий остальные переменные, а через R = матрицу, состоящую из соответствующих этим переменным столбцов матрицы А

Тогда для Xb = B^-1 *B- B^-1 R Xk

Решение Xk =0 Xb = B^-1 *b называется базисным решением

Базисное решение содержит не более, чем m отличных от 0 переменных. При этом переменные, вошедшие в в-р Xb называются базисными, а другие – небазисными.

По определению все небазисные переменные =0

Б азисное решение называется вырожденным, если 1 или более базисных переменных =0

Максимальное число возможных базисных решений

Для некоторых комбинаций базисных решений может не сущ-ть, тк входящие в них векторы могут оказаться линейно-зависимыми

В бщем случае система ограничений может содержать ограничения со знаком <=; =; >=

Если ограничение имеет вид aij*xj<=bi, то вводим вспомогателную (дополнительную) переменную следующим образом x(n+1)=bi-aij*xj

Для всех значений xj где j[1,n], удовлетворяющим исходным ограничениям, принимаем x(n+1)>=0

Если ограничение имеет вид aij*xj>=bi, то вводим вспомогателную (избыточную) переменную следующим образом x(n+1)=-bi+aij*xj

Для всех значений xj где j[1,n], удовлетворяющим исходным ограничениям, принимаем x(n+1)>=0

Т.О. от исходных ограничений мы переходим к с-ме m линейных ограничений с N неизвестными (n<=N<=n+m)

Столбцы матрицы А принято называть производственными векторами.

Производственный вектор, соответствующий вспомогательной переменной = либо единичному в-ру, либо единичному в-ру *(-1). Добавление свободных переменных позволяет любую задачу Лп свести к следующей стандартной форме:

Найти max или min целевой ф-ии вида :Y= cx при Ax=b x>=0

Число переменных в задаче ЛП принято обозначать через n , независимо от того, ввели мы вспомогательные переменные или нет.

После того, как задача приведена к стандартному виду всегда считается, что задача максимизации

Если исходная задача  min, то ее преобразуют к стандартной форме изменением знака целевой ф-ии

Для стандартных задач ЛП мб

1. оптимальное решение сущ-ет, тогда сущ-ет по крайней мере одно оптимальное базисное решение

2. Имеется допустимое базисное решение, тогда за конечное число шагов от этого решения можно перейти к оптимальному решению, либо установить, что целевая ф-я на всем мно-ве базисных решений не ограничена.

Пусть r(A )=r(Ab )=m (это предположение не исключает вырожденнного решения)

В этом случае любое базисное допустимое решение содержит не более, чем m положительных решений. Это базисное решение мб записано Xb = B^-1 *b

Все небазисные переменные =0

Значение целевой ф-ии для этого решения Y=Cb*Xb, где Cb содержит коэ-ты целевой ф-ии, соответствующие базисным переменным

yi= B^-1 *pj

Y=Cb*yj

Вектор Y – это соответствующие коэ-ты матрицы ограничений, после того, как базисные переменные выражены через небазисные

Cj – это коэ-ты целевой ф-ии, соответствующие производственному ве-ру Pj

Пусть мы имеем базис Xb , некоторый в-р yj и вычисленное значение Yj. Тогда имеются следующие возможности

1. Разность Yj-Cj>=0 в этом случае базисное допустимое решение явл оптимальным

2. Yj-Cj<0 для некоторого j и yij<0, тогда целевая ф-я неограничена

3. Yj-Cj<0 для одного или нескольких j. Для каждого j хотя бы одно значение yij>0. Тогда сущ-т другое базисное допустимое решение, которое соответсвует значению целевой ф-ии, не меньшее, чем значение цел ф-ии для данного решения.

Если исходное базисное решение не вырожденное, то значение целевой ф-ии можно увеличить, заменяя в матрице В один из производственных векторов.