Основные понятия

• Матрицей называется таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов матрица записывается в виде

• Матрицы равны между собой если равны их соответствующие элементы А=В если аij=bij где аij, bij-элементы матриц

• Матрица, у ктр число строк равно числу столбцов называется квадратной

• Квадратная матрица, у ктр все элементы равны нулю кроме главной диагонали называется диагональной

• Диагональная матрица, у ктр все элементы равны единицам назыв единичной.

• Квадратная матрица назыв треугольной, если все элементы расположенные по одну сторону диагонали равны нулю

• Матрица все элементы которой равны нулю называется нулевой

• Матрица содержащая в себе один столбец или строку называется вектор столбцом (вектор-строкой)

• Матрица, полученная заменой строк столбцами назыв транспонированной матрицей

Действия над матрицами

• Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров

• Суммой двух матриц А и B называется матрица С у которой элементы cij=aij+bij (i=1,m, j=1,n) Аналогично определяется разность матриц

• Произведение матрицы на число называется матрица В_m*n=(b_ij),у ктр b_{i j}=k*a_ij

• Матрица –А=(-1)А называется противоположной матрице А. Разность матриц А-Вможно определить как А-В=А+(-В)

• Операция умножения двух матриц вводится только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы m*n умножить на n*p равно матрицы m*p.

• Умножение производиться следующим образом элементы i-ой строки и k-го столбца матрицы произведения матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В

• Операции сложения и умножения матриц обладают следующими свойствами:

1. А+В=В+А

2. А+(В+С)=(А+В)+С

3. А+0=А

4. А-А=0

5. 1*А=А

6. k*(A+B)=kA+kB

7. (k+c)*A=k*A+c*A А,В,С-матрицы

8. k*(c*A)=(k*c)*A где k,c – числа,

Элементарные преобразования матриц

1. Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы

2. Умножение всех элементов ряда матрицы на число отличное от нуля

3. Прибавлением ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов парралельного рада умноженных на одно и тоже число

• Эквивалентными называются матрицы получиные с помощью элементарных преобразований одной в другую (A ~ B)

• Операция умножения матриц производится тогда и только тогда, когда число столбцов одной матрицы равно числу строк матрицы другой m*n умножается на n*p и получается m*p

• Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С у которой элемент i-строки и k-столбца равен сумме произведений элементов i-строки матрицы А на соответствующие элементы k-столбца матрицы В

• Матрицы А и В называют перестановычными если АВ=ВА

Свойства умножения матриц

1. A*(B*C)=(A*B)*C

2. A*(B+C)=A*B+A*C

3. (A+B)*C=A*C+B*C 4. k(AB)=(kA)B

Свойства определителей

• Св-во1: Определитель матрицы НЕ изменится при транспонировании матрицы и при замене строки столбцом

• Св-во2: При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак на противоположный

• Св-во 3: Определитель, имеющий два одинаковых ряда равен нулю

• Св-во 4: Общий множетель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя

• Св-во 5: Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующихз определителей

• Св-во 6: Определитель НЕ изменится если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы паралельного ряда, умноженные на любое число а

• Теорема: определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей, перемножаемых матриц det(A*B)=detA*detB

• Минором некоторого элемента aij определителя n-го порядка называется определитель n-1го порядка полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент

• Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор взятый со знаком плюс если сумма i+j четное число и со знаком минус если эта сумма нечетная.

• Св-во 7: Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на их алгебраическое дополнение (док-во)

• Св-во 8: Сумма произведений элем-ов какого либо ряда определителя на алгебраическое дополнение соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю а11А21+а12А22+а13А23=0 (док-во)

Невырожденные матрицы

• Невырожденная матрица-это у ктр определитель отличен от нуля

• Вырожденная матрица –это у ктр определитель равен нулю

• Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров отличных от нуля, Ранг канонической матрицы равен числу единиц стоящих на ее диагонали, Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк матрицы А.

• При транспонировании матрицы ее ранг не меняется

• Если вычеркнуть из матрицы нулевой столбец, то ранг матрицы не изменится

• Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях

• Эквивалентными матрицами называются матрицы, когда одна матрица получена из другой с помощью элементарных преобразований матрицы ни являются равными, но их ранги равны

• Теорема: всякая невырожденная матрица имеет обратную (док-во)

Системы линейных уравнений

С.алгебр-ких ур-й – содерж.m ур-й и n неизв-ых, назыв. Системы вида :

Где числа a_ij –коэффициенты системы (i=1,m; j=1.n), a b_i – свободные члены.

Можно записать A*X=B, А-осн. Матрица.

Х-вектор-столбец нейзв, В-вектор-ст своб.

• Совокупность n чисел C1,C2,Cn, называется решением системы уравнений, если каждое уравнение системы обращается в верное тождество (левая часть равна правой после подстановки n вместо Х)

• Система уравнений назыв совместной, если она имеет одно или множество решений, система является не совместной, если она ни имеет решения

• Если система имеет множество решений, то каждое решение назыв частным, а множество всех частных это общее решение системы

• Эквивалентными системами-системы, у ктр решение одной системы является решением для другой и наоборот, все несовместные системы являются эквивалентными

• ФормулаКрамера система из n уравнений и n неизвестных в случае, когда определитель этой системы отличен от нуля имеет решение и только одно это решение находится по формулам Х=deti/det для всех i где det-определитель системы

deti-определитель матрицы полученной заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

• Док-во:

Если определитель отличен от нуля, это достаточно для того, чтобы матрица имела обратную А в минус первой степени

АХ=В; Х=В/А; Х=В*А-1степени, подставим в первое ур-е получим А*В*Ав –1степени=В А*А в минус первой

степени единичная матрица, следовательно, ЕВ=В; В=В

Допустим, что матрица А имеет множество решений (Х1, Х2, Хn) то АХ2=Ви АХ1=В следовательно АХ2=АХ1

Умножим обе части на обратную матрицу А получим ЕХ2=ЕХ1 следовательно, Х1=Х2 т.е. запись (Х1Х2Хn) не имеет смысла и все иксы равны. Формула Крамера ход: записать Х=А в минус первой *В где В вектор столбец свободных членов А в минус первой обратная к А запишем обратная матрица равна еденици деленой на определитель матрицы А умноженное на союзную матрицу,…

Базисным минором называется минор отличный от нуля r-го порядка где r ранг матрицы.

• Теорема о базисном миноре:

Всякий столбец матрицы есть линейная комбинация ее базисных столбцов сами базисные столбцы линейно независимы (верно для строк). (док-во)

• Теорема Кронекера-Капеллы: система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу системы (необходимо и достаточно) (док-во)

• Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) если число базисных элементов соответствует числу строк то у системы единственное решение если число строк больше числа базисных элементов то у системы множество решений

• Однородная система – система уравнений когда свободный член равен нулю и система неоднородна в противном случае aj1X1,…+…, ajnXn=0 или в матричном виде АХ=0. Любая однородная система имеет одно решение и совместна всегда

• Теорема о существовании нетривиального решения: Для того чтобы существовало хотя бы одно ни тривиальное решение необходимо и достаточно чтобы ранг был меньше числа неизвестных

• Док-во:

Система всегда имеет одно решение когда ранг меньше числа неизвестных система имеет множество решений одно из них тривиальное все остальные не тривиальные также ранг не может быть больше числа неизвестных.

Теорема о линейной комбинации решений однородной системы уравнений: если векторы С1, С2,…, Сn являются решением системы АХ=0 то любая их линейная комбинация С=L1C1+L2C2+…+LnCn является решением этой системы т.к. С1…Сn решение системы то АХ=0 следует что АС1=0… АСn=0 учитывая распределительный и сочетательный закон матричного умножения а также независимость произведения на число от порядка множителя имеем АС=А(L1C1+…LnCn)=L(AC1)+…L(Acn) из этого следует что С решение системы АХ=0.

Фундаментальной системой решений называется линейно зависимая система решений ч/з которую линейно выражается решение данной системы.