Т.К. Величина du является полным дифференциалом, то из (2) следует, что удельная изохорная теплоемкость равна

c_v =

2. Вещество нагревается при постоянном давлении (P = const).

В этом случае теплота, подводимая к веществу, идёт не только на увеличение его внутренней энергии dU, но и на совершение системой работы dA против внешних сил:

dQ = dU + dA (3)

Следовательно, удельная теплоёмкость при постоянном давлении c_p больше удельной теплоёмкости при постоянном объёме c , т.е. c_p c .

Первый закон термодинамики для изобарного процесса (dР = 0) можно представить в следующем виде

mc_pdT = m(du + Рdυ) = m[d(u+Рυ)- υdР] = mdi, (4)

где i = u+ Рυ – удельная энтальпия вещества (параметр его состояния), Дж/кг.

Для изобарного процесса величина υdР = 0. Отсюда следует, что удельная изобарная теплоемкость вещества равна:

c_p =

Установим связь между удельными и молярными теплоёмкостями идеального газа для этих процессов. Учитывая, что внутренняя энергия и энтальпия идеального газа зависят только от температуры, а Рυ = RT/M, из (4) получим

d(i –u) = d(Рυ) или (с_р - c_v)dT =R/M dT.

Отсюда следует, что

с_р - c_v = R/M.

Для молярных теплоемкостей идеального газа получим формулу Майера

С_Р - С_V = R .

Адиабатным процессом называется такой термодинамический процесс, в котором к системе не подводится и от системы не отводится теплота, т.е.

dQ = 0

Термодинамическую систему, в которой протекает адиабатный процесс, можно представить себе в виде некоторого объема, ограниченного оболочкой с идеальной тепловой изоляцией, не пропускающей теплоту. Такая оболочка называется адиабатной. В реальных условиях процесс можно считать адиабатным, когда система снабжена хорошей теплоизоляцией, или когда процесс протекает настолько быстро, что система не успевает вступить в теплообмен с окружающей средой (например, при быстром сжатии и расширении газа).

Первый закон термодинамики для адиабатного процесса для массы вещества 1 кг приобретает следующий вид:

du = – Рdυ; (5)

di = υdР (6)

Из уравнений (5) и (6) получим:

, (7)

где γ – безразмерная величина называется показателем адиабаты или коэффициентом Пуассона.

Дифференциальное уравнение адиабатного процесса (адиабаты) можно представить в следующем виде

dlnР + γ dlnυ =0. (8)

Если показатель адиабаты принять постоянным, то дифференциальное уравнение (8) в следующее:

d(ln(Рυ^γ) = 0

Интегрируя это уравнение, получим:

ln(Рυ^γ) = lnconst

или

Рυ^γ = const; (9)

для любой массы вещества объемом V уравнение (9) имеет вид

РV^γ = const.

Уравнение (9) называется уравнением адиабаты или уравнением Пуассона и справедливо и для газа, и для жидкости, и для твердого тела. Если показатель адиабаты изменяется с изменением состояния системы, то можно использовать среднее значение показателя γ_ср.

Реальные газы в области умеренных давлений по своим свойствам приближаются к идеальным газам и для них можно применять соотношения для идеальных газов. Для идеального газа показатель адиабаты с учетом соотношения (7) определяется по формуле:

γ = с_р/с_v = C_p/C_v = 1+R/C_v

Приборы, необходимые для выполнения работы

Прибор Клемана – Дезорма, с помощью которого можно определить величину (рис.1). Он представляет собой баллон A с воздухом, накачиваемым компрессором K, до некоторого давления P, избыток которого Р = Р – Р₀ над атмосферным р₀ определяется по водяному манометру, соединённому с баллоном шлангом,

Р = gh

Для осуществления быстрого (адиабатного) расширения воздуха из баллона в атмосферу служит ручной клапан Кл.

Выделим (мысленно) внутри воздуха, находящегося в баллоне А, некоторую массу газа m и проследим за изменением её состояния во время опыта при одновременном изменении давления Р и температуры Т.

Если клапан Кл открыт, то давление в сосуде равно атмосферному Р₀; температура воздуха в сосуде равна T₀ – температуре окружающей среды. Тогда параметрами мысленно выделенной массы воздуха будут V₀, P₀, T₀, где V₀ – объём рассматриваемой массы воздуха при давлении P₀ и температуре T₀.

Если теперь закрыть клапан Кл и накачать с помощью компрессора в сосуд некоторое количество воздуха, то рассматриваемая нами масса воздуха сожмётся, а температура и давление её повысятся. Через некоторое время, вследствие теплообмена с окружающей средой, температура воздуха в сосуде станет равной T₀. Давление же будет равно:

P₁ = P₀ + gh₁, (10)

где h₁ – окончательная (после установления теплового равновесия с окружающей средой) разность уровней жидкости в манометре.

Состояние рассматриваемой массы воздуха определяется теперь параметрами V₁, P₁, T₀ – это 1-ое состояние выделенной массы воздуха; V₁ – объём рассматриваемой массы воздуха при давлении P₁ и температуре T₀.

Если на короткое время (~ 1÷2 с) открыть клапан Кл (рис. 1), то воздух, находящийся в баллоне, быстро (адиабатно) расширится и вследствие этого охладиться. В конце этого малого промежутка времени, в течение которого клапан Кл открыт и баллон сообщается с атмосферой, давление воздуха внутри сосуда станет равным давлению атмосферы P₀, и состояние рассматриваемой массы воздуха будет определяться в этот момент следующими параметрами: V₂, P₀, T₁ – 2-ое состояние выделенной массы воздуха, где V₂ – объём выделенной массы воздуха. При этом T₁ < T₀.

Рис.1

Когда давление в сосуде А сделается равным давлению атмосферы (~ 1÷2 с) клапан Кл закрывают. Воздух, находящийся в баллоне, начнёт нагреваться от T₁ до T₀ вследствие получения тепла от окружающей среды, давление в сосуде начнёт повышаться и станет равным:

P₂ = P₀ + gh₂, (11)

где h₂ – разность уровней жидкости в манометре после того, как температура газа в баллоне станет равной температуре окружающей среды.

Рассматриваемая масса воздуха теперь характеризуется параметрами V₂, P₂, T₀ – это 3-е состояние рассматриваемой массы воздуха.

Итак, рассматриваемая масса воздуха во время опыта находилась последовательно в трёх состояниях:

1. V₁, P₁, T₀

2. V₂, P₀, T₁

3. V₂, P₂, T₀

Переход из первого состояния во второе происходит адиабатно, а точки состояний 2 и 3 лежат на изохоре.

На рис.2 изображены графики процессов: кривая 1-2 – адиабата, кривая 2-3 – изохора, кривая 1-3 – изотерма.

Газ в состояниях 1-3 имеет одинаковую температуру T₀.

Переход из состояния 1 в состояние 2 описывается уравнением Пуассона:

. (12)

Параметры 1-го и 3-го состояний удовлетворяют закону Бойля – Мариотта:

P₁V₁ = P₂V₂ . (13)

Возведя уравнение (13) в степень γ и разделив его почленно на (12), получим

,

отсюда

. (14)

Учитывая равенства (9) и (10), получаем, что

P₀ = P₁ – gh₁, P₂ = P₁ – g(h₁ - h₂)

и подставляя их в равенство (14), имеем

. (15)

Так как g(h₁ – h₂) << P₁, то разложив левую часть (15) в ряд и ограничившись первым членом разложения, получим

. (16)

Приравняв правые части (14) и (15), получим следующую формулу:

,

которая используется в этой работе для экспериментального определения γ.