Cтандартная форма задач линейного программирования.
Cтандартная форма задачи ЛП необходима для реализации алгебраической процедуры получения решения, называемой симплекс – методом.
Все задачи ЛП могут быть приведены к стандартной форме, в которой целевая функция должна быть минимизирована, а все ограничения должны быть заданы в виде равенств с неотрицательными переменными.
Общая задача линейного программирования в стандартной форме записывается следующим образом:
минимизировать
функцию
при ограничениях
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
и
Или в матричной форме:
целевая
функция
ограничения
,
,
где матрица
имеет
ранг
.
Приведение к стандартной форме выполняется по следующим правилам:
а)
Задачи, в которых требуется найти
максимум целевой функции, сводятся к
задачам нахождения минимума целевой
функции, т.е. максимизация
целевой функции
равносильна
минимизации целевой функции
.
Например, целевая функция из примера 1
должна быть приведена к виду
.
б)
Ограничения в форме неравенств приводятся
к стандартной форме путем введения
новых (дополнительных) неотрицательных
переменных. Например
,
может быть приведено к стандартной
форме
,
где новая
переменная
неотрицательна.
Ограничение
может
быть приведено к стандартной форме
,
где новая
переменная
неотрицательна.
в) Если
некоторая переменная
может
принимать любые значения, а требуется,
чтобы она была неотрицательная, ее можно
привести к виду
,
где
и
.
В стандартной форме задача максимизации прибыли при производстве книжных полок имеет вид:
минимизировать функцию
при ограничениях
,
и
В матричной форме ограничения можно записать таким образом:
.
Они состоят из двух m=2 уравнений с четырьмя n=4 неизвестными.
Практический интерес при оптимизации представляют задачи, в которых число линейно независимых уравнений системы m меньше числа переменных n. У такой системы существует бесконечное множество решений. Для получения этого множества решений n-m переменным можно задавать произвольные (например, нулевые) значения, а остальные переменные выражать через них и таким образом разрешать систему уравнений.
Всякое неотрицательное решение системы уравнений называется допустимым решением. Всякое решение системы уравнений, получаемое, когда n-m переменных полагаются равными нулю, называется базисным решением. Если базисное решение неотрицательно, то оно называется допустимым базисным решением.
Для
общей задачи линейного программирования
с
переменными, подчиненными
ограничениям
,
базисные
решения ограничений
могут быть получены, если приравнять
нулю
–
из переменных и решить
уравнений относительно оставшихся
переменных. Предполагается, что эти
уравнения имеют единственное
решение. Переменные, приравненные нулю,
называются небазисными
(свободными) переменными.
Остальные называются базисными
и образуют базис.
В
рассмотренных выше задачах можно выбрать
две небазисные переменные шестью
способами. Базисные решения могут быть
сведены в таблицу, в которой каждое
решение соответствует паре небазисных
переменных
,
,
,
,
,
.
Из этих шести базисных решений только
четыре допустимы и соответствуют
вершинам допустимой области рис. 1.1 (см.
приведенную таблицу).
-
1
0
0
1700
1600
0
2
0
425
0
-525
3
0
320
0
466
A
4
566
0
0
466
C
5
800
0
-700
0
6
300
200
0
0
B
В трехмерном случае линейные ограничения являются плоскостями, а не прямыми, допустимая область является выпуклым многогранником, а не выпуклым многоугольником. Оптимальному решению задачи будет соответствовать вершина этого многогранника, поскольку поверхностями уровня целевой функции будут плоскости вместо прямых, а плоскость, соответствующая наименьшему значению, имеет, вообще говоря, только одну общую точку с допустимой областью. Эта точка и будет вершиной выпуклого многогранника, соответствующей оптимальному решению задачи.
Базисные допустимые решения системы уравнений с неизвестными соответствуют вершинам допустимой области. Оптимальное решение (если оно существует) соответствует базисному допустимому решению и, следовательно, является одной из вершин допустимой области.