1.2. Генеральная совокупность и выборка

Пусть требуется изучить совокупность однотипных объектов (изделий) относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность, а количественным – контролируемый размер детали.

Множество индивидуумов, подлежащих статистическому анализу, называется генеральной совокупностью. Количество объектов в генеральной совокупности будем считать достаточно большим. Например, температура воздуха в заданной точке Земного шара, измеряемая через промежутки времени .

Выборочной совокупностью (выборкой) называют множество результатов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Закон распределения СВ Х называется распределением генеральной совокупности, а случайный вектор ( ) – выборочным вектором, где – СВ, соответствующая i-ому эксперименту. Очевидно, , , – независимые в совокупности СВ, каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и СВ Х. Числа , получаемые на практике при n-кратном повторении эксперимента в неизменных условиях, представляют собой реализацию выборочного вектора и называются выборкой ( ) объема n.

Выборка называется представительной (репрезентативной), если по ней с достаточной точностью можно судить об исследуемых свойствах генеральной совокупности.

 Примеры: разрушающие методы контроля (качество продукции) не позволяют обследовать всю партию продукции; производство дешевых изделий – сплошное обследование нецелесообразно экономически.

Задачи математической статистики практически сводятся к обоснованному суждению об объективных свойствах генеральной совокупности по результатам случайной выборки.

1.3. Статистическая функция распределения

Пусть из генеральной совокупности СВ Х извлечена выборка со значениями . Функцию распределения СВ Х, ее параметры и числовые характеристики будем называть теоретическими. Закон распределения, числовые характеристики, определяемые по выборочным значениям, будем называть эмпирическими, или статистическими.

Простым статистическим (вариационным) рядом называется таблица (см. табл. 1.1), в которой в первом ряду задается номер опыта, а во втором – наблюдаемое значение СВ.

Таблица 1.1

i	1	2	...	n
x_i	x₁	x₂	...	x_n

Если значение x₁ наблюдалось m₁ раз, x₂ – m₂ раз, ..., х_k – m_k раз и (объем выборки), то наблюдаемые значения х_i, записанные в возрастающем порядке называются вариационным рядом. Величины называются частотами (относительными частотами), или статистическими вероятностями.

Для дискретной СВ значение x_i может наблюдаться несколько раз, для непрерывной СВ такие совпадения практически невозможны, однако, в силу ограниченной точности измерений и для непрерывной СВ совпадения все же возможны.

Построим статистическую функцию распределения. Введем обозначения: m_x – число наблюдений, при которых наблюдалось значение СВ Х, меньшее выбранного числа х; n – объем выборки (общее число наблюдений). Ясно, что частота события равна

Напомним, что прописными буквами обозначают СВ, а строчными – их наблюдаемые значения (результаты измерений).

Статистической (эмпирической) функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения х частоту события

При больших . Функция F(x) определяет вероятность события , а определяет частоту этого события. Очевидно, что – ступенчатая функция и обладает всеми свойствами F(x). В частности, она считается полунепрерывной слева, т. е. .

Итак, статистическая функция распределения служит для оценки теоретической функции распределения. Ее рекомендуется строить тогда, когда число опытов n порядка нескольких десятков.

 Пример. Построить статистическую функцию распределения для выборки, соответствующей углу скольжения самолета при сбрасывании бомбы (в сотых долях радиана).

Результаты наблюдений даны табл. 1.2.

Таблица 1.2