1.5.2. Количественный анализ дерева отказов

Количественный анализ дерева отказов состоит в расчете вероятностей реализации набора минимальных сечений, полученного в процессе качественного анализа. Реализованный в программе CRISS 4.0 алгоритм расчета вероятностных показателей учитывает следующие виды отказов элементов:

• отказы в режиме ожидания периодически контролируемых элементов;

• отказы в режиме работы;

• отказы на требование;

• неработоспособность, обусловленная выводом элементов в проверку или в ремонт.

Расчетная модель базируется на следующих исходных посылках:

• наработка на отказ распределена по экспоненциальному закону;

• вероятность отказа элемента на интервале (0, t) существенно меньше 1 ( ).

Вероятность отказа K однотипных элементов на интервале (0, t) с учетом независимых отказов и отказов по общей причине (биномиальная модель) определяется по формуле (консервативная оценка):

, (1)

где

- интенсивность независимых отказов;

- интенсивность нелетальных шоков;

- условная вероятность отказа элемента при возникновении нелетального шока;

- интенсивность летальных шоков;

При использовании модели - фактора, вероятность отказа K однотипных элементов можно определить по формуле (1) для = 0, , где - бета фактор элементов рассматриваемого типа, - общая интенсивность отказов. Поэтому в дальнейшем расчетные формулы будут приводиться только для биномиальной модели.

С учетом вышеизложенного вероятность несрабатывания на требование K однотипных элементов, усредненная на интервале ожидания (0, То), определяется по формуле:

(2)

Индексы "0" у параметров указывают на принадлежность к режиму ожидания.

Если элементы имеют различные значения периодичности проверок, то

, (3)

где - количество различных значений периодичности проверок;

- периодичность проверок k -го элемента;

- количество элементов, имеющих периодичность проверок ;

;

- минимальное из возможных значений ( )

Используемое в данной приближенной формуле усреднение дает хорошее совпадение с точным значением при существенно различающихся значениях для разных i.

Вероятность отказа К однотипных элементов на интервале работы (0, ):

(4)

Характеристики надежности элементов могут быть определены как вероятности отказов и воздействий, приводящих к ООП. В этом случае вероятность отказа K однотипных элементов составит:

, (5)

где - вероятность независимого отказа элемента;

- вероятность нелетального шока;

- вероятность летального шока.

Вероятность того, что в момент поступления требования элемент будет находиться в проверке или в ремонте оценивается по формуле :

, (6)

где - среднее время восстановления;

- продолжительность проверки с выводом элемента из действия;

Формула справедлива при и .

Вероятность реализации результирующего набора минимальных сечений определяется по следующей формуле:

, (7)

где - число минимальных сечений;

- вероятность реализации минимального сечения.

Данная формула дает верхнюю границу вероятности реализации и справедлива в том числе и при значениях , близких к 1.

Базисные события ДО разбиваются на условные  и  - элементы. Поэтому любой элемент сечения может отражать либо летальный отказ ( - элемент), либо независимый и нелетальный отказ (- элемент).

Вероятность отказа всех элементов сечения определяется по формуле:

, (8)

где - вероятность отказа сечения по модели мгновенного восстановления;

- количество типов элементов в сечении , отражающих независимые и нелетальные отказы в режиме ожидания;

- количество элементов в сечении r-го типа;

- вероятность отказа сечения, при условии, что k-тый элемент r -го типа выведен из работы для проверки или ремонта.

Для учета моделей отказов для типа элементов дерева отказов вводится признак :

= a , если j- тый тип отражает отказы в режиме ожидания;

= b , если j- тый тип отражает отказы в режиме работы;

= с, если j- тый тип отражает отказы элементов, характеристики надежности которых заданы в виде вероятностей отказов и воздействий, приводящих к ООП.

Вероятность определяется из соотношения:

, (9)

где ,

,

- количество типов элементов в сечении, отказавших вследствие летальных шоков;

- количество типов элементов в сечении, потерявших работоспособность из-за независимых отказов и нелетальных шоков;

- количество элементов f -го типа в сечении;

- наименьшее общее кратное для всех ,где - период между проверками k-го элемента f -го типа; - наименьший период между проверками элементов j-го типа.

Формулу (9) можно представить в виде суммы 2^F членов (субсечений) вида:

, (10)

где

При =0 или =0 соответствующее произведение в формуле опускается.

После усреднения на интервале (0,Т₀^*) окончательно получается следующая формула:

, (11)

где

- количество элементов -го типа в сечении, потерявших работоспособность из-за независимых отказов;

- количество элементов -го типа в сечении, потерявших работоспособность из-за нелетальных шоков;

- минимальное значение из

- количество различных значений периодичностей проверок из

-количество повторений из

- продолжительность режима работы элементов соответственно j-го , m - го , l -го типов;

- период между проверками k - го элемента соответственно l - го и m - го типов.

При расчете летальных отказов необходимо учитывать, что однотипные элементы, отказывающие в режиме ожидания, могут проверяться с разной периодичностью. Поэтому в процессе качественного анализа  - элементы, соответствующие однотипным базисным событиям, но имеющие разную периодичность проверок, идентифицируются как разные элементы.

При количественном расчете однотипные β - элементы, входящие в одно сечение, рассматриваются, как один элемент, которому присваивается наименьшая из периодичностей проверок указанных β - элементов, то есть в формулах (9) , (10) , (11) J - это количество типов β - элементов в сечении, а в формуле (11) есть наименьшее из ,где - количество β - элементов j - го типа в сечении. Общее количество - элементов в сечении равно .