МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И КОММУНИКАЦИЙ

РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Департамент по авиации

Минский государственный высший авиационный колледж

Физика колебательных процессов

Часть 2

Методические указания

по выполнению курсовой работы

для студентов дневной и заочной форм обучения

по авиационным специальностям

Минск - 2008 г.

УДК 53 075.32

ББК 22.3я722

Ф 50

Автор

А.И.КИРИЛЕНКО

кандидат физико-математических наук, доцент

Издание второе, переработанное и дополненное

Рецензенты:

Заведующий лабораторией НИИ прикладных физических проблем им. А.Н.Севченко Белгосуниверситета доктор физико-математических наук, профессор В.К.Гончаров и доктор физико-математических наук В. И. Попечиц

Одобрено и рекомендовано к изданию научно-методическим советом МГВАК (протокол № 6 от 15 февраля 2008 г.)

Пособие содержит общие требования и краткие методические указания по выполнению работ, перечень тем курсовых работ, список рекомендуемой литературы. Пособие предназначено для студентов стационара и заочной формы обучения по авиационным специальностям.

Разбиение пособия на две части связано с техническими причинами.

©МГВАК, 2002

©МГВАК, 2008

2.1.21. Параметрические колебания. Параметрический резонанс

На колебательную систему внешние силы могут воздействовать двояким образом. Во-первых, к ней может быть приложена дополнительная внешняя сила. В электрических цепях это соответствует введению в контур вынуждающей ЭДС или введению заданного тока в какой-либо элемент цепи. Во-вторых, внешней силой может изменяться один из параметров системы. Такой вид воздействия называется параметрическим.

Рассмотрим одномерную систему, т.е. систему с одной степенью свободы и ограничимся случаем периодической модуляции параметра.

Рис. 42. Колебательный контур с электроемкостью зависящей от вре

мени.

Возьмем линейный колебательный контур (рис. 42), состоящий из последовательно соединенных резонатора, индуктивности и емкости (R,L,C). Пусть емкость конденсатора в контуре меняется во времени с помощью внешнего механического устройства так, что имеет вид, представленный на рис.43.

Предположим, что изменения емкости малы и заряд на конденсаторе изменяется по закону близкому к гармоническому. Если емкость меняется скачком на 2ΔС причем уменьшается, то энергия конденсатора при каждом скачке увеличивается ( ). Заряд q при скачкообразном изменении емкости не изменяется, т. к. является инерционной величиной. Возможно так подобрать частотные и фазовые соотношения между q(t) и С(t), чтобы емкость конденсатора уменьшалась каждый раз точно в те моменты, когда заряд на конденсаторе достигает минимальной или максимальной величины (рис.43).

При этом поступление энергии в систему будет максимальным, т. к. при раздвижении обкладок конденсатора для уменьшения емкости совершается максимальная работа против электростатических сил притяжения между его пластинами.

Как видно из рис.43, частота изменения параметра (емкости) в нашем случае в два раза выше частоты колебаний в контуре.

Рис. 43. Изменения емкости, напряжения и заряда на ней в зави

симости от времени.

Рассмотрим приращение электростатической энергии конденсатора ΔW, которое получается в момент скачка емкости

.

Здесь q₀ - максимальный заряд (по модулю) на конденсаторе при обычном колебательном режиме; кроме того, мы считаем ΔС < < С₀ . Поэтому

.

Здесь W₀ – энергия, запасенная в конденсаторе до скачка емкости:

.

Введем коэффициент m, называемый глубиной модуляции параметра

.

Через этот параметр приращение энергии колебаний в контуре запишется в виде:

ΔW = W₀ · 2m . (133)

Это соотношение является достаточно общим. Оно справедливо и для механических колебательных систем (человек приседает и встает на качелях). Оно выражает простой закон параметрической накачки энергии: величина изменения энергии колебаний пропорциональна величине энергии запасенной в контуре.

В соответствии с выбранным фазовым соотношением между накачкой и колебанием, совершаемым в контуре, скачкообразное увеличение емкости в момент времени, аналогично с t₂ на рис. 43, не вызывают изменения энергии в системе, т. к. происходят в такие моменты времени, когда заряд на пластинах конденсатора равен нулю. За один период колебания энергия вкладывается в колебания два раза, строго говоря, неодинаковыми порциями ΔW, однако при ΔC << C₀ эта порция отличается мало и общее приращение энергии колебаний за период составит

. (134) Рассмотрим потери в контуре. Будем считать колебания заряда конденсатора приближенно гармоническими: q = q₀sin ω₀t;

тогда сила тока в контуре и мощность потерь на активном сопротивлении контура R составит Q = I²R. После усреднения по периоду колебаний, учитывая, что среднее значение величины y = cos²x за период равно

,

будем иметь .

Энергия, теряемая за период колебаний,

. (135)

Сравнивая выражения (134) и (135), получим условие, при выполнении которого поступающая энергия превосходит потери и в системе происходит нарастание колебаний

; , (136)

или в другом виде m > m _порог = ,

где

логарифмический декремент затухания контура.

Такой процесс возбуждения колебания энергоемкого параметра колебательной системы мы назовем параметрическим возбуждением колебаний или параметрическим резонансом.

Если емкость менять с тем же периодом, но по другому закону, то получим тот же результат, но коэффициент в (136) будет отличен от и меньше его, т.к в рассматриваемом случае мы выбрали самый оптимальный способ сообщения энергии системе. Понятно, что нарастание колебаний в контуре и увеличение энергии этих колебаний происходит за счет работы внешних сил, изменяющих параметр.

В данном примере мы меняли параметр дважды за период собственных колебаний системы. Однако можно сообщать энергию системе за счет изменений параметра один раз за период, 2 раза за 3 периода и т.д. Если частота изменения параметра р, а ω₀ - частота возбуждения колебаний, то энергия будет поступать в систему при условии

р = (137)

Конечно, передача энергии в возбуждаемую систему в течение периода её колебаний тем меньше, чем больше n.

В электрической цепи энергоемким элементом является наряду с емкостью и индуктивность L. Меняя её скачком в те моменты, когда ток максимален, мы получим те же результаты. Анализ удобно проводить, используя магнитный поток Ф, поскольку при изменении L изменяется I, но Ф = LI остаётся неизменным. Поэтому для энергии удобнее использовать выражение . Аналогично

= ,

где , .

В проведенном анализе линейной колебательной системы и потери, и прирост энергии колебаний пропорциональны энергии колебаний, т.е. квадрату их амплитуды. При этом происходит неограниченное нарастание амплитуды возбуждаемых колебаний (рис. 44). В линейных системах при внешнем силовом воздействии передача энергии пропорциональна первой степени амплитуды, а потери – квадрату амплитуды. В результате устанавливается конечная амплитуда вынужденных колебаний.

Отметим, что сопротивление в цепи не является энергоемким элементом, поэтому изменение параметра R не приводит к параметрическому возбуждению колебаний.

Рис. 44. Примерный вид фазовых траекторий параметрических

колебаний с различными амплитудами

Вывод: параметрический резонанс имеет место при выполнении определенных соотношений между частотой изменения параметра p (137) и частотой возбуждаемых колебаний, причем последняя близка или совпадает с собственной частотой возбуждаемой системы ώ₀ . Необходимо также выполнение условий (136), налагаемых на изменения параметра при заданном соотношении частот.

Дадим более строгое математическое описание процесса параметрических колебаний. Параметрический резонанс в линейных системах с одной степенью свободы описывается линейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами

, (138)

где и периодические функции времени. Подстановкой

это уравнение преобразуется к стандартному уравнению Хилла

, где

периодическая функция. Частным случаем уравнения Хилла является уравнение Матье

. (139)

Решение этого уравнения ищут в виде

,

где χ(t) – ограниченные функции с периодом, равным периоду изменения параметра или с половиной этого периода; λ - комплексный характеристический показатель, вещественная часть которого определяет, имеет ли решение нарастающий или убывающий характер.

Пример. Пусть в системе с L и C индуктивность изменяется со времени по закону

Тогда уравнение, описывающее колебания в системе при p = 2ω, примет вид

Пусть, .

Тогда

, (140)

где , - функция, описывающая нелинейную характеристику конденсатора.

Будем искать решение уравнения (140) в виде . (141)

Продифференцируем (141) и подставим в (140). Получим

. (142)

Разложим функцию (t) в ряд Фурье с удержанием членов с и . Коэффициенты этого разложения α₁ и β₁ находятся по формулам

,

. (143)

Тогда из (142) имеем

; . (144)

Из этих уравнений находятся a и b, а через них - амплитуда A и фаза δ стационарного решения

; .

Конкретизируя результат, выберем нелинейную характеристику емкости в виде .

Тогда вычисление интегралов (143) дает:

; ,

а уравнения (144) принимают вид:

,

.

Эти выражения можно упростить и привести к виду:

,

, (145)

где

Данная система допускает решение a = b = A = 0. Как бы мы не изменяли длину подвеса маятника, когда он находится в состоянии покоя (равновесия), колебания в системе не возникнут. То же самое и в электрическом колебательном контуре.

Система (145) имеет решение при a ≠ 0, b ≠ 0 тогда, когда

.

Отсюда (146)

Значение A тем больше, чем меньше γ – коэффициент нелинейности систем. Выражение (146) верно при .