8.2. Модель идеального газа. Основное уравнение состояния идеального газа

Идеальный газ - теоретическая модель газа, в которой не учитывается взаимодействие частиц газа (средняя кинетическая энергия частиц много больше энергии их взаимодействия). Размеры молекул идеального газа малы по сравнению с расстояниями между ними (молекулы удалены в среднем друг от друга на расстояния, в десятки раз превышающие их линейные размеры). Суммарный собственный объем молекул такого газа мал по сравнению с объемом сосуда. Силы взаимодействия между молекулами настолько малы, что движение молекул от столкновения до столкновения происходит по прямолинейным отрезкам. Число ежесекундных столкновений молекул велико (в воздухе, например, при нормальных условиях, число столкновений в секунду порядка 10¹²). Средняя длина свободного пробега, т.е. среднее расстояние, пройденное молекулой от столкновения до столкновения, в сотни раз превышает их линейные размеры. Взаимодействия молекул идеального газа подчиняется законам упругого удара.

У реальных газов молекулы обладают конечными размерами и взаимодействуют друг с другом с силами, быстро убывающими с увеличением расстояния между ними. Однако особенности реальных газов проявляются в довольно экстремальных условиях - при высоких давлениях и низких температурах. Во многих интересующих нас случаях газ близок к идеальному и может быть описан с помощью указанной выше модели.

Состояние газов описывают с помощью параметров: p-давление, V- объём, T-температура.

. (1)

Уравнение (1) носит название уравнения Менделеева - Клапейрона. Оно является основным уравнением состояния идеального газа.

В уравнении (1):  = К, V = м³, p = Па; m – масса газа,  m  = кг;

R - универсальная газовая постоянная :

R = 8,3110³ или R = 8,31 .

 - молярная масса - масса вещества, взятого в количестве одного моля,

 = m₀N_А,  = кг/моль; m₀ – масса одной молекулы;

N_А = 6,0210²³ моль^-1 - число Авогадро - число атомов или молекул в моле любого вещества

По закону Авогадро при нормальных условиях моли всех газов занимают одинаковый молярный объём: = 22,4 м³/кмоль;

- количество вещества,   = моль.

Для одного моля идеального газа основное уравнение записывают так:

. (2)

Выразим из (2) давление: . Так как R = kN_А , где k =1,3810^-23 Дж/К - постоянная Больцмана, то , где - концентрация молекул. Мы получили - уравнение состояния газа.

8.3. Основное уравнение кинетической теории газов

Ч тобы вывести уравнение, связывающее давление, объем и кинетическую энергию молекул идеального газа предположим, что газ заполняет объём имеющий форму сферы радиуса R (см. рис.8.1). (Однако геометрия ее суда не отражается на конечном результате - окончательной формуле основного уравнения кинетической теории газов.)

В рамках введенной модели:

m_i,v_i – масса и скорость i-ой молекулы,

(- m_iv_icos - m_iv_icos) – изменение импульса молекулы при одном столкновении.

Исходя из закона сохранения импульса, мы заключаем, что стенка сосуда приобретает импульс 2m_iv_icos.

За одну секунду молекула проходит путь S = v_i1, поэтому за одну сек. она сталкивается со стенкой v_i/(2Rcos), раз и передает стенке импульс:

Нам известно, что приращение импульса тела равно импульсу силы, т.е. .

Но t = 1, поэтому . Поскольку F_i направлена по нормали к поверхности, то р = F/S и р_i = – давление, создаваемое одной молекулой на стенку сосуда. Всеми молекулами создается давление , но - энергия одной молекулы.

Поэтому .

Откуда следует: (1)

(1) - основное уравнение кинетической теории газов.