4.4. Критерії теплової подібності

Записуючи рівняння енергії для двох систем і роблячи аналогічно, як у попередньому розділі, отримаємо:

(106)

Звідки

(107)

Співвідносячи комплекси рівнянь (107) отримаємо з 1 і 2 критерій гомохронності

(108)

з 2 і 3 критерій Пеклє

(109)

характеризуючий співвідношення між переміщенням тепла конвекцією і теплопровідністю у потоці рідини, з 1 і 3 критерій Фур´є

(110)

характеризуючий 46е стаціонарність процесу теплопровідності. Зі співвідношення критеріїв і отримуємо критерій Прандтля

(111)

характеризуючий подібність гідродинамічних і теплових полів. Він цілком складається з величин, які виражають фізичні властивості рідини.

Значення критерію , для крапельних рідин в межах 3300 і значно зменшуються зі зростанням температури, а для газів – постійні і залежать від атомності газу . Тому для рідин тепловий підшарок менше гідравлічного.

Розглянемо тепер рівняння теплообміну на межі розділу рідина-стінка, з якого можна отримати:

(112)

Звідки

З рівняння (112) отримаємо критерії Нусельта

(113)

і Біо

(114)

які характеризують співвідношення між переносом тепла конвекцією і теплопровідністю у рідині ( ) і в твердому тілі ( ) біля межі розділу.

4.5. Критеріальне рівняння конвективного теплообміну

З системи рівнянь конвективного теплообміну вище були отримані критерії подібності і, по суті, доведена перша теорема подібності. На основі другої теореми систему диференційних рівнянь можна замінити залежністю між критеріями подібності. Так як метою є знаходження коефіцієнту тепловіддачі, то визначуваним критерієм є критерій Нусельта:

(115)

відношення геометричних розмірів стінки до деякого характерного розміру. Для труби .

Рівняння (115) є загальним критеріальним рівнянням конвективного теплообміну.

- критерій визначуваний, так як до нього входить шукана величина коефіцієнту тепловіддачі.

4.6. Принципи отримання окремих критеріальних залежностей

При розгляданні окремих випадків конвективного теплообміну в першу чергу необхідно проаналізувати рівняння (115) і вибрати критерії, які найбільш суттєво впливають на процес. Наприклад, при вимушеній конвекції для стаціонарного процесу випадають критерії і . З критеріїв необхідно залишити тільки критерій Грасгофа, який враховує вільну конвекцію. Критерій описує теплопровідність в твердому тілі, тому його також можна відкинути, а критерії і є функціями критерію . Тому критеріальне рівняння для вимушеної конвекції набуває вигляд:

(116)

Для вільної конвекції можна не враховувати критерій , тому рівняння ще більше спрощується:

(117)

Виходячи з вибраних критеріїв, необхідно провести експерименти, в ході яких вимірюються величини, які входять у ці критерії. До критеріїв подібності входять фізичні параметри які вибираються за певною температурою, яку легко визначають з дослідів (наприклад, середня температура рідини). При знаходженні коефіцієнту тепловіддачі потрібно розрізняти його локальне і середнє значення. Локальний - визначається для даного перерізу за формулою:

(118)

де градієнт температур у рідині біля стінки, а і - температура стінки і рідини в даному перерізі. В експериментах часто визначається середній коефіцієнт тепловіддачі:

(119)

де - середні на ділянці певної довжини значення теплового потоку і температур стінки і рідини. Лінійним розміром, у критерії подібності (визначальний розмір), вибирається характерний розмір, який здійснює найбільший вплив на процес (наприклад, діаметр труби при течії у трубах).

Результати дослідів - представляються у вигляді критеріїв подібності і узагальнюються найчастіше ступеневими залежностями типу:

(120)

Ці залежності в логарифмічних координатах являють собою рівняння прямих. Якщо ж залежність нелінійна, то її наближено апроксимують в логарифмічних координатах декількома прямими з різними кутами нахилу. Коефіцієнти С,n,m… визначаються методами статистичного аналізу, найчастіше методом найменших квадратів.

У критеріальне рівняння найчастіше вводиться поправка (поправка Міхеєва), в якій критерій Pr у чисельнику вибирається за температурою рідини, а у знаменнику Pr_CT - за температурою стінки. Ця поправка враховує вплив напрямку теплового потоку. При охолодженні рідина біля стінки більш холодна, її в’язкість більша, відповідно, більша і товщина в’язкого ламінарного підшару, який являє найбільший опір переміщенню тепла. При цьому значення  менше, ніж при нагріванні.