- •1.1. Понятие множества и способы его задания
- •1.2. Подмножества
- •1.3. Операции над множествами
- •1.4. Свойства операций над множествами
- •4.1. Понятие сортиравки
- •4.2. Пузырьковая сортировка
- •4.3. Сортировка выбором
- •I,j,k,t :integer; flag :boolean;
- •5.1. Cортировка вставками
- •5.2. Метод Шелла
- •6.1. Квадратичная выборка
- •6.2. Быстрая сортировка
- •7.1. Основные определения
- •7.2. Способы задания бинарных отношений
- •7.3. Операции над бинарными отношениями
- •8.2. Отношение эквивалентности
- •8.3. Отношение порядка
- •8.3.2. Диаграмма Хассе
- •8.4. Мощность множеств
1.2. Подмножества
Пусть имеется некоторое множество A. Иногда требуется рассмат-
ривать не все элементы множества A, а только часть этих элементов.
Ясно, что часть элементов множества A также образует множество. Та-
кое множество называют подмножеством множества A.
Строго говоря, множество A является подмножеством множест-
ва A если каждый элемент множества A является также элементом
множества A, что записывают A A и читают « A есть подмножество
множества A» или « A содержится в A».
Исходя из определения подмножества можно заключить, что само
множество А является собственным подмножеством, то есть можно записать, что AA. Чтобы подчеркнуть тот факт, что рассматриваемое подмножество A множества A может совпадать с множеством А, отно-
шение «быть подмножеством» записывают также A A.
Из определения следует, что A, то есть пустое множество явля-
ется подмножеством любого множества А .
Пусть имеется множество всех подмножеств множества А. Такое
множество называют булеаном или множеством-степенью и обозна-
чают
2A .
Пусть, например, имеется множество А 1,2,3 . Тогда множест-
во-степень (булеан) этого множества имеет следующий вид
1
1
1
1
1
1
1
,
2
1
3
Важным понятием в теории множеств является понятие универсаль-
ного множества, или универсума. Универсальным называют множест-
во, элементами которого являются все множества некоторой задачи
или теории. Будем обозначать универсальное множество знаком U. Ясно, что если А и В есть любые два множества, то A B U .
Для наглядного изображения множеств используют диаграммы Эй-
лера—Венна. На каждой такой диаграмме прямоугольником изобража-
ют универсальное множество U. Все другие множества, которые явля-
ются подмножествами универсального множества, изображают внутри
прямоугольника в виде некоторой его части, ограниченной замкнутой
линией. Обычно такие множества изображают как окружности или
овалы внутри прямоугольника.
Рис. 1.1. Диафамма Эйлера—Венна
На рис. 1.1 представлена диаграмма Эйлера—Венна. Из этой диа-
граммы видно, что множество В является подмножеством множест-
ва А. Множества С и D не имеют общих элементов с множествами А
и В. Множества С и Д напротив, имеют общие элементы, принадле-
жащие как множеству С, так и множеству D.
Лекция 2
1.3. Операции над множествами
На множествах определяют некоторые теоретико-множественные
операции. Результат таких операций — новое множество. Рассмотрим
наиболее важные из этих операций.
Объединением множеств А и В называют множество С, состоящее из
элементов, принадлежащих множествам А или В, что обозначается
C AB.
Таким образом, множество С можно задать следующим образом
С с \ сА или сВ .
Результат операции объединения можно изобразить графически
диаграммой Эйлера—Венна. Результат операции объединения мно-
жеств А и В представлен на рис. 1.2 в виде заштрихованной области.
Рис. 1.2. Результат объединения множеств C AB
Пересечением множеств А и В называют множество С, состоящее из
С АВ.
Множество С можно задать также следующим образом
С с|сАи сВ .
Результат операции пересечения множеств А и В можно предста-
вить на диаграмме Эйлера—Венна как общую часть кругов, изобра-
жающих эти множества. Эта область на рис. 1.3 заштрихована.
Рис. 1.3. Результат пересечения множеств С АВ
Разностью множеств A и В называют множество С, состоящее из
таких элементов множества А, которые не являются элементами мно-
жества В. Обозначают так
С А \ В.
Множество С можно задать также следующим образом
С с|сА и сВ .
Результат операции разности множеств А и В представлен на диа-
щих элементов с множеством В (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Результат разности множеств С А \ В
Дополнением множества А называют множество A, которое являет-
ся разностью универсального множества U и множества A, то есть
A U \ A.
Множество A можно задать следующим образом
A c|cA .
Дополнение множества А представлено на диаграмме Эйлера—
Венна как часть множества U, которая не имеет общих элементов
с множеством А. Эта область на рис. 1.5 заштрихована.