8.2. Отношение эквивалентности

Бинарное отношение называют отношением эквивалентности,

если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Примеры отношения эквивалентности: отношение равенства (=),

отношение параллельности (||) .

Классом эквивалентности R называют множество всех вторых

компонентов упорядоченных пар отношения эквивалентности R,

у которых первой компонентой является элемент a _a ^{b|a,bR}^.

Иначе говоря, классом эквивалентности называют пересечение

отношения эквивалентности по элементу поля этого отношения.

Так, например, в отношении равенства класс эквивалентности лю-

бого элемента a состоит из единственного элемента a, класс эквива-

лентности отношения параллельности состоит из всех параллельных

прямых.

Бинарное отношение S , является отношением эквивалентности.

В нем каждый класс эквивалентности состоит также из одного элемента ^S ^a^^a^, ₁ ^b^^{, и S} ^c^^.

Пусть имеется бинарное отношение

^{S }^a,a^,^a,b^,^b,a^,^b,b^,^c,c^,^d,d^,^d,e^,^e,d^,^e,e^.

Нетрудно видеть, что данное отношение рефлексивно, симмет-

рично и транзитивно. Следовательно, отношение S есть отношение

эквивалентности.

Имеем классы эквивалентности:

a



R

1

S

c

b

1

1













c

S_a _a,b , S_b _a,b , S_c _, S_d _d,e , S_c _d,e .

Другими словами, имеется три различных класса эквивалентно-

стей, порождаемых данным отношением. С «точки зрения» свойств

этого отношения, элементы a,b являются неразличимыми, как и эле-

менты d, e.

8.3. Отношение порядка

8.3.1. Основные определения

Бинарное отношение R называют отношением порядка, если оно ан-

тисимметрично и транзитивно. Если к тому же это отношение анти-

рефлексивно, то такое отношение называется отношением строгого

порядка. В противном случае мы имеем отношение нестрогого порядка.

Понятие отношения порядка является очень важным в различных

приложениях. Это отношение пронизывает все сферы человеческой

деятельности. Иерархия в некотором обществе — это отношение по-

рядка, отношения (<), (≤), (>), (≥) также есть отношения порядка.

Примером отношения порядка может, например, служить отно-

шение «быть потомком», отношение служебной иерархии, отноше-

ние «быть меньшим действительным числом» и так далее.

Отношение порядка часто определяют упорядоченной парой (А, <)

или (А, ≤), где А — поле отношения порядка, а символы (<) и (≤) ука-

зывают соответственно на отношение строгого и нестрогого порядка.

В таком случае говорят, что множество А упорядочено отношением ( <)

(или ≤), или что на множестве А введен порядок. В этом случае множе-

ство А часто называют также упорядоченным множеством.

Бинарное отношение R называется отношением линейного порядка, ^{если оно есть отношение порядка и для любых a,bF}^R^{(для любых}

двух элементов поля отношения) либо aRb, либо bRa. Иначе говоря,

отношение порядка R называется линейным, если любые два элемен-

та его поля находятся в отношении R.

Линейно упорядоченное множество также называют цепью.

Бинарное отношение R называют отношением частичного порядка, если для некоторых a,bF_R_не имеет место ни aRb, ни bRa.

^{Например, пусть имеется множество A}^{a,b,c . Очевидно, что на}

множестве-степени

^{2A } ^{,,,a,b ,a,c , b,c ,a,b,c} ^{определен частичный порядок отношением} ^^.

Если R — отношение частичного порядка, то говорят, что множе-^{ство F}^R^{является частично упорядоченным. Если множество F}^R^ко-

нечно, то такое множество называют конечным частично упорядо-

ченным множеством.

Если R — частично упорядоченное множество, то любые два эле-^{мента a,bF}^R^{называют сравнимыми, если aRb или bRa. В против-}

ном случае эти элементы называют несравнимыми. Множество не-

сравнимых элементов называют также антицепью упорядоченного

множества.

^{Заметим, если AF}^R^{есть цепь, то любые два элемента из A явля-}

ются сравнимыми.