Импульс силы

Импульс силы S характеризует действие силы за некоторый промежуток времени

Элементарный импульс силы dS –векторная мера ее действия, равная произведению силы F на элементарный промежуток времени ее дейст­вия dt.

Импульс силы за любой промежуток времени равен определен­ному интегралу от элементарного импульса.

Если сила F и по модулю и по направлению постоянна (F=const), то S=F

Проекции импульса на оси координат найдем

По этим проекциям можно построить сам вектор S.

СИ

МКГС

Работа силы. Мощность.

Работа характеризует то действие силы, которым определяется измене­ние модуля скорости движущейся точки.

Э лементарной работой силы F называется скалярная величина

Изменять модуль скорости точки бу­дет только составляющая силы . Сила на модуль скорости влияния не оказывает, т.е. не производит ра­боту.

Элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения точки, умноженной на элемент перемещения dS

Или

Элементарная работа силы равна проекции силы на вектор элементар­ного перемещения точки ее приложения.

dA = F_xdx + F_ydy + F_zdz – выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов – аналитическое выражение работы силы.

Или

Работа силы на конечном перемещении М_ОМ₁, равна взятому вдоль это­го перемещения интегралу от элементарной работы.

или

Если F=const, а точка, к которой приложена сила, движется прямолиней­но, то А (М_О М1) = F S cos =

Работа силы тяжести.

Точка М движется под действием только силы P=mg. Ось координат z выбираем вертикальной.

Тогда P_X=P_Y=0; P_Z=-P

Если z₀>z_1, то z₀-z₁=h,

z₀<z_1, то z₀-z₁=-h

Работа силы тяжести равна взятому со знаком + или – произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения.

Т.е. работа силы тяжести не зависит от вида траектории точки ее при­ложения. Такие силы называются потенциальными.

Работа силы упругости.

По закону Гука

С–коэффициент жесткости (сила, сжимающая или растя­гивающая пружину на единицу длины)

СИ dim С – Н/м – сила, кото­рой пружина деформируется на 1 м длины.

т.к.

а F_x=-сх, получим

Работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений пружины.

Если конец пружины удаляется от равновесного положения, то А(F_упр)<О и наоборот.

Сила упругости также – потенциальная.

Работа силы трения.

т.к. по закону Кулона f – безразмерная величина

если F_тр=const, то А=-F_трS, где S – длина пути, пройденного точкой приложения силы F_тр.

Работа силы трения при скольжении всегда отрицательна. Сила F_тp – непотенциальна т.к. ее работа зависит от длины дуги.

Работа момента трения качения.

, где – коэффициент трения качения

СИ dim – м

DA=-m_тр.к d – элементарная работа момента трения

Если m_тp.к= const, то А=-т_тр.к , где – угол поворота катящегося тела без скольжения

A(F_TP)=0, т.к. сила F_тp приложена в неподвижной точке.

Teоремa об изменении количества движения точки.

Из кинематики известно, что

Полагая m=const, можно основной закон динамики записать

Это математическая запись теоремы в дифференциальной форме. Производная по времени от количества движения точки равна геометри­ческой сумме действующих на точку сил. Проинтегрировав уравнение в пределах, соответствующих переменным в точках Мо и М₁, получим

Это математическая запись теоремы в конечном виде.

Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени = геометрической сумме импульсов всех действующих на точку сил за это же время.

Вместо векторной записи можно использовать запись в проекциях

Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Запишем основной закон динамики в проекциях на ось

Из кинематики:

Запишем в виде

Будем иметь:

учитываем, что и внесем mV под дифференциал, получим

Это выражение теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме. Если проинтегрировать, то получим

Это математическое уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии в конечном виде:

Изменение кинетической энергии точки при некотором перемеще­нии = сумме работ всех действующих на нее сил на этом перемещении.

Теорема об изменении момента количества движения.

В некоторых случаях удобнее пользоваться не самой теоремой об изменении ,а теоремой об изменении момента количества движе­ния, которая получается из первой. Величина момента количества движения относительно центра определяется аналогично величине мо­мента силы относительно точки, если вектором заменить вектор силы .

Проекция l₀ на ось – момент количе­ства движения относительно оси.

Иногда называют кинетическим моментом Чтобы установить зависимость изме­нения кинетического момента от воз­действия сил возьмём производную от l₀ по t

(а)

Из кинематики ; тогда т.к. угол между этими векторами равен нулю. Учитывая, что m=const

Производная по времени от момента количества движения материаль­ной точки относительно центра равна сумме моментов сил, действую­щих на материальную точку, относительного того же центра.

Т.к. (из векторной алгебры), то

Производная по времени от кинетического момента материальной точ­ки относительно оси равна сумме моментов сил, действующих на точку относительно этой же оси.

Следствие 1. Если линия действия равнодействующей сил, приложен­ных к материальной точке, всё время проходит через некоторый непод­вижный центр, то момент количества движения относительно этого цен­тра есть величина постоянная.

Кроме того означает, что плоскость, проходящая через (касательная к траектории) и центр О не изменяет своего положе­ния, т.е. траектория точки лежит в плоскости.

Следствие 2. Если момент равнодействующей сил, приложенных к ма­териальной точке, относительно некоторой оси всё время равен нулю, то момент количества движения материальной точки относительно этой оси есть величина постоянная.

Эти два следствия указывают на те случаи, когда удобнее пользоваться теоремой об изменении момента количества движения, чем теоремой об изменении .

Пример: Шарик находится на гладкой горизонтальной плоскости. Он со­единён с нерастяжимой нитью, которая пропущена через отверстие О на плоскости. Длина горизонтальной части нити R. Шарику сообщили скорость перпендикулярно нити. Сопротивление движению шарика не учитывается. Как изменится скорость, если нить укоротить вдвое, втянув её в отверстие.

На шарик действуют три силы: ,момент которых относительно оси Z=O

, значит , т.е. .

Отсюда