Эта сумма является функцией ф (a, b, c ) трех переменных (параметров a, b, c ). Задача сводится к отысканию ее минимума. Используем необходимое условие экстремума:

∂ Ф\ ∂ a = 0, ∂ Ф\ ∂ b = 0, ∂ Ф\ ∂ c = 0,

т.е.

_n

∑ [y_i - φ ( x_i, a, b, c ) ] · φ _a^’( x_i, a, b, c ) = 0,

^{i = 1}

_n

∑ [y_i - φ ( x_i, a, b, c ) ] · φ _b^’( x_i, a, b, c ) = 0,

^{i = 1}

_n

∑ [y_i - F ( x_i, a, b, c ) ] · φ _c^’( x_i, a, b, c ) = 0, (7)

^{i = 1}

Решив эту систему трех уравнений с тремя неизвестными относительно параметров a, b и c, получим конкретный вид искомой функции φ ( x, a, b, c ). Как видно из рассмотренного примера, изменение количества параметров не ведет к изменению сущности подхода, а выразится лишь в изменении количества уравнений в системе ( 7 ) .

Естественно ожидать, что значения найденной функции φ ( X, a, b, c ) в точках x1, x2 , …, xn будут отличаться от табличных значений у1, y2, …, yn. Значения разностей

y_i - φ ( x_i, a, b, c ) = ε_i ( i = 1, 2, …, n )

называют отклонениями ( или уклонениями ) измеренных значений y от вычисленных по формуле ( 6 ). Для найденной эмпирической формулы ( 6 ) в соответствии с исходной таблицей 1 можно, следовательно, найти сумму квадратов отклонений

_n

u = ∑ ( φ(x) - y_i ) ² , ( 8 )

^{i = 1}

которая в соответствии с принципом наименьших квадратов для заданного вида приближающей функции ( и найденных значений параметров a, b и c ) должна быть наименьшей.

Cумму квадратов отклонений u используется для сравнения различных вариантов приближающих функций при построении модели объекта. В том случае, когда значения y_i представляют собою непосредственно измеренные значения выхода. Величина u может быть использована для получения оценки σ_у , как это следует из (1).

3. Виды приближающих функций

Вид приближающей функции должен быть выбран экспериментатором в зависимости от характера точечного графика функции f . При этом в качестве приблжающей функции наиболее часто используют одну из следующих функций:

a) y = ax ₊ b - линейная функция ;

b) y = ax² ₊ bx ₊ c - квадратичная функция ;

c) y = ax^b - степенная функция ;

d) y = a e^bx - показательная функция ;

e) y = 1/(ax ₊ b) - дробно-линейная функция ;

f) y = a∙ ln x ₊ b - логарифмическая функция ;

g) y = a/x ₊ b - гиперболическая функция ;

h) y = x/(ax ₊ b) - дробно-рациональная функция ;

Здесь a, b и c - параметры, значения которых определяются по экспериментальным данным для конкретного вида приближающей функции. Общий метод нахождения параметров приближающей функции описан в предыдущем разделе. Наиболее просто реализуется метод для функций вида а) и b). В этих двух случаях отыскание параметров сводится к решению системы линейных уравнений. Для приближающих функции других видов для отыскания параметров необходимо решать систему нелинейных или трансцендентных уравнений. Возникающие при этом трудности можно преодолеть путем преобразования приближающей функции так, чтобы отыскание параметров сводилось бы к решению системы линейных уравнений. Ниже описаны преобразования для приближающих функций вида c) – h), упрощающие задачу отыскания их параметров.

3.1. Степенная функция ( геометрическая регрессия)