6 Статистические модели в виде нелинейных полиномов
При составлении статистических моделей объектов химической технологии нередко возникает необходимость использовать нелинейную форму связи, чаще - параболу второй, третьей или более высоких степеней, реже - логарифмическую, гиперболическую, степенную иди показательную функциональные зависимости. В таких случаях применяют метод регрессионного анализа, который с учетом особенностей конкретных объектов приобретает ту или иную разновидность. Чаще всего использую так называемый метод классического регрессионного анализа для составления статистической модели в виде полинома второй (или более высокой) степени, т.е. уравнение типа (а).
Определение коэффициентов в уравнении(а), например, для полинома второй степени при т переменных, производят приемами, аналогичными рассмотренным ранее. Однако в этом случае не требуется находить выборочные коэффициенты корреляции, которые при нелинейной форме зависимости между исследуемыми переменными теряют смысл. Итак, если степень полинома выбрана заранее, то коэффициенты регрессии определяются по методы наименьших квадратов, а исследование уравнения проводится по статистическим критериям (в частности, адекватность модели устанавливается по критериям Фишера, как и в случае линейной регрессии).
Метод классического регрессионного анализа достаточно успешно применяется при составлении математических моделей химико-технологических, металлургических и других процессов.
Метод Брандона
Если на основании предварительных исследований примерно известен качественный характер влияния каждого фактора хi на выходной параметр y (линейная или нелинейная зависимость), то можно применять метод Брандона. Метод предполагает, что аппроксимирующая функция имеет вид:
(40)
где - константа. для удобства проверки расчетов принимается равной
среднему экспериментальных значений входного параметра
(41)
Чтобы увеличить точность обработки результатов наблюдений, функции fi (xi) в выражении (41) следует располагать в порядке убывания влияния факторов хi нa y. расчеты начинают с того, что нормализуют экспериментальные данные yu, разделив их на :
u=1, 2, . . . , N. (42)
Дальнейшие операции по расчеты составляющих функций fi(xi) выполняют в следующем порядке.
1. На график наносят нормализованные значения yu* в зависимости от значения х1u.
2. Анализ графика с учетом априорных сведений о свойствах исследуемого объекта дает возможность выбрать вид первой составляющей функции (40) - f1(x1). В простейшем случае используют линейную функции (уравнение регрессии)
f1(x1) = b01 + b11x1 (43)
3. Методом наименьших квадратов или любым другим методом определяют числовые значения коэффициентов параметра yu* исключают f1(x1) -
значения первой составляющей функции :
(44)
5. Строят график первой остаточной функции yu1 от значений фактора х2 и определяют вид второй составляющей функции f2 (x2). Выбирают уравнение регрессии, которое может быть в простейшем случае линейным
f2(x2) = b02 + b12x2 (45)
и для конкретного уравнения рассчитываю коэффициенты (например, b01 и b11 для уравнения (45).
6. Из значений yu1 исключают f2 (x2) - значения второй составляющей функции (40):
(46)
7. В такой последовательности расчет повторяют до тех пор, пока не будут определены составляющие последней остаточной функции
(47)
которая при такой последовательности расчета должна быть близка к единице.
Найденные составляющие функций fi (xi) включают в уравнение (40). Подстановкой экспериментальных значений xiu (u= 1,2, ...,N; i=1,2,...,n) получают расчетные значения yu аппроксимирующего уравнения (40), а затем проверяют адекватность математической модели по известной уже формуле (36) с применением критерия Фишера. Если условие (36) не соблюдается, то следует повысить степень уравнений регрессии составляющих функций или ввести дополнительные факторы.
Пример 2. Предварительные исследования объекта химической технологии показали, что зависимость между выходом целевого продукта (выходной параметр) и каждым из 4-х факторов (давление, температура, концентрации двух иходных компонентов) (табл.14) можно представить линейными уравнениями, т.е. записать их в виде
fi(xi) = b0i + b1ixi
Необходимо определить коэффициенты каждой составляющей функции.