Задача 2

2.1-2.20. Даны координаты точек . Найти длину ребра . Составить уравнение ребра и грани . Составить уравнение высоты опущенной из точки на плоскость . Найти площадь треугольника . Найти объём треугольной пирамиды .

№ вар.	Координаты точек
					Вар.
2.1	(1;0;2)	(2;1;1)	(-1;2;0)	(-2;-1;-1)	2.11	(1;2;5)	(0;7;2)	(0;2;7)	(1;5;0)
2.2	(-1;2;1)	(1;0;2)	(2;-1;3)	(1;1;0)	2.12	(4;4;10)	(4;10;2)	(2;8;4)	(9;6;4)
2.3	(2;1;1)	(-1;2;1)	(1;0;-2)	(3;-1;2)	2.13	(4;6;5)	(6;9;4)	(2;10;10)	(7;5;9)
2.4	(-1;2;0)	(1;0;-2)	(3;1;1)	(2;-1;-1)	2.14	(3;5;4)	(8;7;4)	(5;10;4)	(4;7;8)
2.5	(2;0;1)	(1;3;-1)	(-1;2;0)	(2;-2;1)	2.15	(10;6;6)	(-2;8;2)	(6;8;9)	(7;10;3)
2.6	(1;2;-3)	(2;1;1)	(3;0;2)	(0;-1;3)	2.16	(1;8;2)	(5;2;6)	(5;7;4)	(4;10;9)
2.7	(1;-2;3)	(3;1;2)	(-1;0;-3)	(2;-1;1)	2.17	(6;6;5)	(4;9;5)	(4;6;11)	(6;9;3)
2.8	(2;0;3)	(-1;3;2)	(3;2;0)	(-2;1;1)	2.18	(7;2;2)	(5;7;7)	(5;3;1)	(2;3;7)
2.9	(-2;1;3)	(3;-1;0)	(2;1;3)	(1;2;2)	2.19	(8;6;4)	(10;5;5)	(5;6;8)	(8;10;7)
2.10	(2;2;1)	(1;1;3)	(-2;0;-1)	(1;-1;2)	2.20	(7;7;3)	(6;5;8)	(3;5;8)	(8;4;1)

Указания к задаче 2.

1. Каноническое уравнение прямой , где - направляющий вектор прямой, произвольно заданная точка прямой

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки

3. Условие параллельности прямых

4. Условие перпендикулярности прямых

5. . - общее уравнение плоскости, где - нормальный вектор.

6. Уравнение плоскости, проходящей через три точки _{, ,}

7. Угол между плоскостями:

8. Угол между прямой и плоскостью:

9. Расстояние от точки до плоскости :

10. Условие параллельности плоскостей

1 1. Условие перпендикулярности плоскостей

12. - векторное произведение векторов

13. Объём параллелепипеда, построенного на векторах , ,

Задача 3.

Указания к задаче.

Meтод Жордана

Система линейных алгебраических уравнений называется системой с базисом, если в каждом ее уравнении имеется выделенное неизвестное, не входящее ни в одно из остальных уравнений и входящее в данное уравнение с коэффициентом, равным единице При соответствующей нумерации неизвестных (в k-м уравнении выделенной служит неизвестная x_k) система с базисом имеет вид:

(A)

Выделенные неизвестные x₁, x₂……., x_m называют базисными, а остальные – свободными (небазисными).

Если члены, содержащие свободные неизвестные, перенести в правую часть, то система с базисом запишется в следующем эквивалентном виде:

(B)

Решение системы (В) получается сразу: надо придать свободным неизвестным любые значения и определить из системы (В) отвечающие им значения базисных неизвестных. Ясно, что полученный таким образом набор значений x₁, x₂……., x_m, x_m+1 ,…. x_n ,будет решением системы (В) и, тем самым, решением исходной системы (А). Также ясно, что таким образом может быть получено любое решение исходной системы. Другими словами: соотношения (В) дают общий вид решения системы (А).

П ример

В системе базисными неизвестными служат x₂, x₅, x₆. Решая систему относительно этих неизвестных, получим:

Эти формулы дают общее решение исходной системы: при любых конкретных значениях свободных неизвестных x₁, x₃, x₄, они дают решение системы, и любое решение может быть получено таким путем. Положив, например, x₁ = x₃ = x₄=0, получим для базисных неизвестных x₂=10, x₅=8, x₆=15 и решение системы - вектор X⁽⁰⁾ = (0;10;0;0,8;15). При x₁=1, x₃=-1, x₄=4 получим значения x₂=10-3+2+2=11 , x₅=8-2-5-4=--3. x₆= 15-4+3+10=24 и решение - вектор. X⁽¹⁾ = (1;11;-1;4;-3;24).

Заметим, что решение, в котором все свободные неизвестные равны нулю, называется базисным. В нашем примере - это X⁽⁰⁾.

Решение общей системы линейных алгебраических уравнений методом Жордана заключается в планомерном преобразовании системы к эквивалентной ей системе с базисом.

А лгоритм метода опишем на конкретном примере системы: (1)

(2)

(3)

(4)

Систему рассматриваем для двух возможных значений правой части b₃, третьего уравнения b₃=15 и b₃=10.

Отдельный шаг преобразования заключается в назначении в одном из уравнений неизвестной, которая должна быть в нем базисной, и исключении ее из остальных уравнений. Этот шаг повторяется до тех пор пока это возможно (см. ниже).

Выделим в первом уравнении неизвестную х₂. Так как коэффициент при базисной неизвестной должен равняться единице, то делим обе части уравнения на коэффициент при х₁ (т.е. на -1). Получим.

-7х₁+x₂-5x₃+х₄-2x₅=-12. (1’)

Пользуясь уравнением (1’), исключим неизвестную х₂ из остальных уравнений. Для этого умножаем (1’) на - 4 и складываем с уравнением (2). Затем умножаем (1’) на 6 и складываем с уравнением (3) Затем умножаем (1') на - 2 и складываем с уравнением (4).

(2’)

(3’)

(4’)

Базисная переменная в первом уравнении выделена. При этом получена эквивалентная система (1’) - (4’).

Аналогичным образом выбираем неизвестную х₄, а уравнении (2’) и превращаем ее в базисную и т.д. Весь алгоритм оформляется в виде последовательных преобразований (описанного выше типа) таблицы, в которой записана вся информация о системе, каждая строка таблицы дает запись одного уравнения. В первом столбце записаны правые части уравнений, в остальных - коэффициенты при неизвестных см. на с. 19 Т.1.

Каждый шаг (так называемая большая итерация) требует выполнения следующих действий:

1. Выбор главного (ключевого или ведущего) элемента

За главный элемент можно принять любой отличный от нуля коэффициент при одном из неизвестных. В каждой строке главный элемент может выбираться только один раз. Невозможность выбора главного элемента говорит об окончании вычислений. Выбранный элемент заключается в квадратик. Его строку и столбец будем называть ключевыми.

2. Преобразование ключевой строки

Все элементы ключевой строки делятся на главный элемент. На его месте возникает единица. Полезно ее подчеркнуть.

3. Назначение дополнительных множителей

Каждой не ключевой строке исходной таблицы соотносится множитель равный взятому с обратным знаком ее элементу, стоящему в ключевом столбце. Эти множители приписаны справа от таблицы.

4. Преобразование не ключевых строк

Для преобразования не ключевой строки нужно каждый элемент преобразованной ключевой строки умножить на дополнительный множитель преобразуемой строки и добавить к соответствующему элементу.

5. Если в ходе вычислений появляется строка вида:

b	x1	x2		xn
b≠0	0	0		0

т.е. строка, в которой все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля, то система не имеет решений.

Действительно, всякое решение системы должно удовлетворять уравнению, записанному в этой строке, которое имеет вид:

Поскольку его левая часть равна нулю для любых значений x₁, x₂,…, x_n, а правая часть отлична от нуля, то ему не может удовлетворять ни один такой набор.

6. Если в ходе вычислений появляется строка, состоящая из одних нулей, то ее можно удалить из таблицы, так как такая строка отвечает уравнению:

которому удовлетворяет любой набор значений x₁, x₂,…, x_n и поэтому ее можно не учитывать.

Заметим, что появление строки из одних нулей свидетельствует о том, что записанное в ней уравнение является следствием других уравнений системы.

Если при применении алгоритма не возникает противоречивой ситуации, описанной в п.5, то в каждой строке заключительной таблицы (т.е. в каждом уравнении) имеется базисная неизвестная, и система оказывается приведенной к эквивалентной системе с базисом.

Применим описанный алгоритм к системе из примера.

b	x1	x2	x3	x4	x5	Подмножитель
12 9 15(10) 4	7 3 11 -1	-1 4 -6 2	5 -1 11 -1	1 6 -8 5	2 -3 7 -1	- -4 6 -2
-12 57 57(-62) 28	-7 31 -31 13	1 0 0 0	-5 19 -19 9	1 2 -2 3	-2 5 -5 3	-1 - 2 -3
-40,5 28,5 0(-5) -57,5	-22,5 15,5 0 -33,5	1 0 0 0	-14,5 9,5 0 -19,5	0 1 0 0	-4,5 2,5 0 -4,5	4,5 -2,5 - -
17 -31/9 115/9	11 -28/9 67/9	1 0 0	5 -4/3 19/3	0 1 0	0 0 1

Т.1

*

Т.2

*

*

Т.3

*

Т.4*

*

В Т.1 за главный элемент выбран коэффициент при x₂ в 1-м уравнении. В Т.2 соответствующая строка помечена звездочкой в знак того, что в ней выбирался главный элемент. Затем эта строка умножается на соответствующие множители и добавляется к строкам исходной таблицы.

Дальнейшие действия аналогичны и понятны из приведенных таблиц.

В Т.З появляется строка, в которой все коэффициенты при неизвестных равны нулю.

Если в исходной таблице свободный член b₃=10, то появилась противоречивая строка,

Следовательно, система не имеет решений.

Если же b₃ = 15, то третья строка таблицы Т.З состоит из одних нулей и удаляется из таблицы.

Дальнейшее решение (Т.4) касается только этого случая.

В Т.4 все строки помечены звездочками, т.е. главный элемент появлялся, в каждой из них, и выбор его, более невозможен.

Работа алгоритма закончена. Т.4 дает запись системы с базисом, эквивалентной исходной:

Общее решение последней, а значит, и исходной системы даете формулами:

Например, при x₁=1 и x₃=1 получаем x,=1, x₄=1, x₅=1 т.е. получаем решение X=(1;1;1;1;1). Положив x₁=x₃=0 получаем базисное решение X_баз.=(0;17;0;-31/9;ll5/9), В заключение этого пункта отметим, что метод Жордана позволяет полностью исследовать любую систему линейных алгебраических уравнений.

а) если в ходе вычислений появляется «противоречивая строка»

b≠0

0

0

0

то система не имеет решений. Уравнение, отвечающее этой строке, противоречит уравнениям, строки которых помечены звездочками (т.е. в которых выделялся главный элемент);

б) если «противоречивая строка» в ходе вычислении не появлялась, то система имеет решение. Его общий вид получается из последней таблицы. Если есть свободные неизвестные, то система имеет бесконечно много решений. Если свободных переменных нет, то система имеет единственное решение;

в) появление нулевой строки показывает, что соответствующее ей уравнение является следствием уравнений, помеченных звездочками в данной таблице. Число независимых уравнений равно числу ненулевых строк последней таблицы (в случае разрешимости системы).

3.1-3.20. Решить систему методом Жордано - Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 3.20 .

Задача 4.

Указания к задаче.

Задача 4. связана с действиями над матрицами. Для решения этой задачи следует использовать следующие сведения:

1. Всякая система m·n, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей

m строк и n столбцов, называется матрицей размера m×n и записывается в виде:

2). Матрица размера m×m (количество строчек равно количеству столбцов) называется квадратной матрицей порядка m.

3). Диагональ квадратной матрицы, идущая от левого верхнего утла к правому нижнему, называется главной диагональю, а вторая диагональ называется побочной.

4). Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные цифры нули, называется единичной матрицей n, обозначается следующим образом:

5) Две матрицы одной размерности равны друг другу, если равны все элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах, т.е. если

6). Произведением матрицы

на число α называется матрица C_m×n, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы A_m×n на число α.

7). Суммой двух матриц одной размерности

называется матрица Cm×n той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A_m×n и B_m×n , т.е.

8). Умножение матрицы на матрицу

Пусть даны две матрицы A_m×n и B_n×k, таких что число столбцов матрица А равно числу строк матрицы В. Тогда произведением матриц называется матрица C_m×k, каждый элемент которой c_ij равен сумме попарных произведений элементов i–й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрица В, т.е.

Заметим, что A·B≠B·A

9). Определители квадратных матриц

Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, обозначаемое

Рассмотрим определителя для матриц первого, второго и третьего порядков:

а). Пусть А=(а₁₁), тогда Δ_А=│a₁₁│=a₁₁. (1)

Из формулы (1) следует, что определитель для матрицы первого порядка совпадает с элементами матрицы А_1·1.

б). Пусть (2)

Из формулы (2) следует, что определитель матрицы второго порядка равен разности произведений элементов матрицы, стоящих на главной и побочной диагоналях.

в). Пусть (3)

Формулу (3) запомнить значительно труднее, чем (1) и (2), но это и не требуется, так как существуют различные правила, позволяющие легко подсчитать те шесть слагаемых, из которых состоит определитель для матрицы третьего порядка.

Например, можно использовать «правило треугольников», которое условно показано на схемах 1 и 2.

Первые три слагаемые, входящие в формулу (3) со своим знаком, подсчитываются в соответствии со схемой 1, а следующие три слагаемые, входящие с противоположным знаком, подсчитываются по схеме 2.

10). Алгебраическим дополнением элемента а_ij квадратной матрицы A_m×n называется число А_ij, вычисляемое по формуле:

A_ij=(-1)^i+j·M_ij, где M_ij- определитель, полученный из определителя матрицы A_m×n удалением строки с номером i и столбца с номером j .

11). Обратная матрица

Матрица А^-1 называется обратной к матрице А, если A·A^-1=A^-1·A=E , где Е - единичная матрица. Из определения следует, что матрицы А и А^-1 - квадратные матрицы одного порядка. Квадратная матрица имеет обратную, если ее определитель отличен от

12). Решение простейших алгебраических уравнений

а) А·X=В, где А и В - заданные матрицы, причем А - квадратная матрица, определитель которой ≠0. Тогда X=А^-1·В.

б) X·А=В, - где ,А и В заданные матрицы, причем А - квадратная матрица, определитель которой ≠0. Тогда X= А^-1·X.

Примеры

1). Выполнить действия: (А+2В)·С, где

Решение

2). Найти А^-1, если

Решение

, Тогда

Проверим, верно ли нашли А^-1. Для этого умножим А на А^-1 и убедимся, что получим единичную матрицу.

3). Решить уравнение AX-B=C, где

Решение

Тогда ,

Проверка

Задача 4. Решить матричное уравнение, сделать проверку.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

Задача 5

5.1-5.20. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы.

5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

5.5. 5.6. 5.7. 5.8.

5.9. 5.10. 5.11. 5.12.

5.13. 5.14. 5.15. 5.16 .

5.17. 5.18. 5.19. 5.20.

_{Указания к задаче.}

Число λ называется собственным числом матрицы А n-го порядка, если существует такой ненулевой n-мерный вектор Х, что АХ= λХ. Этот ненулевой вектор Х называется собственным вектором матрицы А, соответствующим её собственному числу λ.

Множество всех собственных чисел матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения , которое называется характеристическим уравнением матрицы А.

Множество всех собственных векторов матрицы А, соответствующих её собственному числу λ, совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений

Задача. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Решение. Найдём характеристическое уравнение матрицы А:

При вычислении данного определителя использовалось его разложение по элементам 3 столбца.

Найдём теперь собственные числа матрицы А – корни характеристического уравнения

. Получаем λ₁ = 3, λ₂ = 1, λ₃ = -1.

Далее собственные векторы матрицы А, соответствующие каждому из собственных чисел.

Пусть искомый собственный вектор. Тогда система однородных уравнении будет иметь вид: или

(1)

Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как её определитель равен нулю.

При λ = λ₁= 3 система (1) принимает вид: . Общее решение этой системы , где х₂ – любое число.

В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное решение. Пусть, например, х₂ = 1, тогда собственный вектор, , соответствующий собственному числу λ₁=3, имеет вид

При λ = λ₁ = 1 система (1) принимает вид: . Общее решение этой системы , где х₃ – любое число.

Пусть, например, х₃ = 1, тогда собственный вектор, , соответствующий собственному числу λ₂=1,

имеет вид .

Аналогично при λ = λ₃ = -1 система (1) принимает вид: . Общее решение этой системы , где х₂ – любое число.

Пусть, например, х₂ = 1, тогда собственный вектор, , соответствующий собственному числу λ₂=-1, имеет вид . Ответ: λ₁=3,λ₂=1,λ₃= -1, , ,

14