Линейная регрессия и корреляция: смысл и оценка параметров

Л

a

dy

dx

инейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида _x=a+bx или y=ax+bx+ε, которое позволяет по заданным значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора x. Теоретические значения представляют собой линию регрессии:

П

y

x

0

остроение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров a и b двумя способами:

1. с помощью поля корреляции, выбрав на графике 2 точки, провести через них прямую линию. Далее по графику определить параметры: a – как точку пересечения линии регрессии с OY; b оценивают исходя из угла наклона линии регрессии, как , где dy – приращение результата;

dx – приращение фактора.

2. С помощью МНК, который позволяет получить такие оценки параметров как a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от расчетных (теоретических) _x минимальна:

_i²= (y_i- _xi)² min

y

Л иния регрессии с минимальной

ε₁

дисперсией остатков

ε₂

п

x

0

усть _i²=S, тогда задача сводится к min функции двух переменных (a и b):

S= (y-a-bx)²

Вычислим частные производные и приравняем их к нулю:

= 2(y-a-bx)(-1)=0, / :2

= 2(y-a-bx)(-x)=0; / :2

- ­ _i+a _i²=0, n*a+b _i= _i,

- _ix_i+ _i+ _i²=0; a* _i+b _i²= _iy_i.

Далее находим оценки и . Из уравнения имеем:

na= -b / :2

,

тогда b=

b - коэффициент регрессии, который показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу

Пусть дана функция издержек:

_x = 3000 + 2x => с увеличением объема продукции x на 1 ед.

издержки производства возрастают в

среднем на две тыс. руб.

издержки количество

в тыс. руб. единиц про-

дукции

То есть дополнительный прирост продукции на 1 ед. потребует увеличение затрат на 2 тыс. руб.

a– значение y при x=0.

Если признак-фактор x не может быть равен 0, то трактовка a не имеет смысла.

a может и не иметь экономического смысла, особенно при a<0. Интерпретировать можно лишь знак при a.

Если a>0, относительное изменение результата происходит медленнее, чем фактора, т.е. вариация результата меньше вариации фактора,

т.е. коэффициент вариации по фактору x выше коэффициента вариации для результата y.

V_x>V_y

Если a<0, изменение результата опережает изменение фактора:

V_y>V_x

Статистические свойства МНК-оценок параметров парной регрессии

МНК-оценки параметров а и b удовлетворяют свойствам несмещенности, эффективности и состоятельности.

Парная регрессия используется в эконометрике при изучении функции потребления:

C=Ky+L, где C – потребление

y – доход

K, L – параметры функции.

Введем мультипликатор: