Лекция 2. Парная регрессия. Суть регрессионного анализа. Линейная рег­рессия и корреляция, смысл и оценка параметров. Метод наименьших квадра­тов (мнк). Свойства оценок мнк.

Цель лекции: ознакомить студентов с сутью корреляционно-регрессионного анализа, с линейными моделями регрессии в экономических задачах, построением их и оценкой параметров.

Парная регрессия, суть регрессионного и корреляционного анализа

Чтобы дать количественное описание взаимосвязей между экономическими переменными, эконометрика пользуется методами регрессии и корреляции. Существуют две формы анализа линейных взаимосвязей:

1. корреляционный анализ проверяет наличие и значимость линейной зависимости между переменными, без указания зависимой и объясняющих переменных и оценивания формулы связи;

2. регрессивный анализ – выделяется зависимая переменная, после чего оценивается и анализируется формула ее зависимости от объясняющих переменных.

В зависимости от качества факторов, включенных в уравнение регрессии, принято различать простую (парную) и множественную регрессии.

Простая регрессия (регрессия между двумя переменными y и x) – модель вида

y= (x) ,

где y – зависимая (объясняющая) переменная (результативный признак)

x - независимая (объясняющая) переменная (признак-фактор).

Множественная регрессия (регрессия результативного признака с двумя и большим числом факторов) – модель вида

y= (x₁, x₂,…, x_k).

Любое эконометрическое исследование начинается со спецификации модели, т.е. с формулировки вида модели, т.е. с теории, устанавливающей связь между переменными.

Прежде всего из всего круга факторов, влияющих на результативный признак, выделяют наиболее существенные влияющие факторы. Парная регрессия достаточна, если имеется доминирующий фактор, который и используется в качестве объясняющей переменной.

Пусть выдвигается гипотеза о том, что величина спроса на товар A находится в обратной зависимости от цены X, т.е. _x=a-bx.

В этом случае надо знать, какие остальные факторы предполагаются неизменными, возможно, в дальнейшем их придется учесть в модели и от простой регрессии перейти к множественной.

Уравнение простой регрессии устанавливает связь между двумя переменными, которая проявляется как некоторая закономерность лишь в среднем целом по совокупности наблюдений.

Если y=300-4x, то с ростом цены x на 1 д.е. спрос в среднем уменьшается на 4 д.е. В уравнений регрессии корреляционная по сути связь признаков представляется в виде функциональной связи, выраженной математической функцией.

Практически же в каждом отдельном случае величина y складывается из:

y_i= _xi+E_i,

где y_i – фактическое значение результативного призанка;

_xi – теоретическое значение результативного признака, найденное исходя из соответствующей математической функции y и x, т.е. из уравнения регрессии;

E_i – случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению регрессии.

Случайная величина E называется возмущением, она включает влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения. Ее присутствие в модели порождено тремя источниками: спецификацией модели, выборочным характером исходных данных, особенностями измерения переменных.

Уравнение зависимости спроса y от цены x точнее записывается так:

y=300-4x+E (E – всегда есть место случайности).

Обратная зависимость может характеризоваться и другими формулами:

_x=a*x^-b _x=a+ _x=

К случайным ошибкам относятся:

Ошибки спецификации – неправильный выбор математической функции для _x, недоучет в уравнении регрессии какого-либо существенного фактора, т.е. испоьзование парной регрессии вместо множественной. (Так спрос на товар может определяться не только ценой, но и доходом на душу населения).

Ошибки выбора – обусловлены выборочными данными, неоднородностью данных. Если совокупность неоднородна, то уравнение регрессии не имеет практического смысла. Для получения хорошего результата из совокупности исключают единицы с аномальными значениями.

Ошибки измерения – самые опасные ошибки. Если ошибки спецификации можно уменьшить, изменяя форму модели (вид математической формулы), а ошибки выбора – увеличением объема исходных данных, то ошибки измерения более существенны, особенно на макроуровне.

Пример. В настоящее время органы государственной статистики получают балансы предприятий, достоверность которых никто не подтверждает.

Последующее обобщение такой информации может содержать ошибки измерения. Исследуя, например, в качестве результативного признака прибыль предприятий, надо быть уверенным в том, что предприятия показывают в отчетности адекватные реальной дейтсвительности величины.

Полагая, что ошибки измерения сведены к минимуму, основное внимание уделяют ошибкам спецификации модели.

В парной регрессии выбор математической функции _x=f(x) осуществляется тремя методами:

1. графическим

2. аналитическим

3. экспериментальным

Графический метод нагляден для подбора вида уравнения регрессии. Основные типы кривых, используемых при количественной оценке связи:

y

y

_x=a+bx _x=a+bx+cx²

x

0

0

x

y

y

_x=a+ _x=a+bx+cx²+dx³

0

x

0

x

y

y

_x=a*x^b _x=a*b^x

0

x

x

0

и другие.

При компьютерной обработке выбор вида уравнения регрессии осуществляется экспериментальным методом, т.е. путем сравнения величины остаточной дисперсии Д_ост, рассчитанной при разных моделях.

y

y

x

0

x

0

уравнение регрессии проходит в практике имеет место рассеивание

через все точки корреляционного точек относительно линейной

поля, это возможно только при регрессии (влияние прочих,

функциональной связи Д_ост=0 не учитываемых в уравнении

регрессии факторов)

Д_ост= (y- _x)²

Лучше подходит уравнение регрессии, где Д_ост меньше.

Если Д_ост приблизительно одинаковая для нескольких функций, предпочтение отдается более простым видам функций.

Число наблюдений должно в 6-7 раз превышать число рассчитываемых параметров по переменной x. Это означает, что искать линейную регрессию, имея менее 7 наблюдений, не имеет смысла. Если вид функции усложняется, то требуется увеличение объема наблюдений, т.к. каждый параметр при x должен рассчитываться хотя бы по 7 наблюдениям.

Значит, если мы выбираем параболу _x=a+bx+cx², то требуется объем информации не менее 14 наблюдений. Учитывая, что эконометрические модели часто строятся по данным рядов динамики, ограниченным по протяженности (10, 20, 30 лет), при спецификации модели предпочтительнее модель с меньшим числом параметров при x.