- •Прямая на плоскости
- •28 Февраля 2005 года
- •1. Уравнение линии000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
- •1.1. Уравнение линии как множество точек
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.2. Параметрические уравнения линии
- •Задания для самостоятельного решения
- •2. Прямая
- •2.1. Общее уравнение прямой
- •2.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2.3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом
- •2.4. Уравнение прямой проходящей через две данные точки и
- •2.5. Уравнение прямой в отрезках
- •2.6. Нормальное уравнение прямой
- •2.7. Построение прямой по ее уравнению
- •2.8. Угол между прямыми
- •2.9. Пересечение прямых. Расстояние от точки до прямой. Пучок прямых
- •2.10. Смешанные задачи на прямую
- •Задания для самостоятельного решения
- •Основная литература
- •Дополнительная литература
- •Содержание
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Прямая на плоскости
Учебно-методическое пособие по специальности «Химия» 011000.
ВОРОНЕЖ
2005
Утверждено научно-методическим советом математического факультета
28 Февраля 2005 года
Протокол № 6
Составитель Петрова Е.В.
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре
уравнений в частных производных и теории вероятностей
математического факультета Воронежского
госуниверситета
Рекомендуется для студентов 1 курса дневного отделения
химического факультета
1. Уравнение линии000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1.1. Уравнение линии как множество точек
Равенство вида
(1)
называется уравнением с двумя переменными x, y, если это равенство справедливо не для всех пар чисел х, у. Примеры уравнений: , , .
Если (1) справедливо для всех пар чисел х, у, то оно называется тождеством. Примеры тождеств: , .
Пусть некоторой линии на плоскости хОу, рассматриваемой как множество точек, соответствует уравнение, связывающее координаты любой точки М (х;у) («текущей точки»), лежащей на этой линии. Такое уравнение называется уравнением данной линии.
Определение. Уравнение (1) называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Из определения следует, что линия L представляет собой множество всех тех точек плоскости (х;у), координаты которых удовлетворяют уравнению (1).
Если (1) является уравнением линии L, то говорят, что уравнение (1) определяет (задает) линию L.
Если в уравнение данной линии подставить координаты любой точки, лежащей на этой линии, то уравнение обращается в тождество. Если же в уравнение линии подставить координаты любой точки, не принадлежащей этой линии, то уравнение не удовлетворяется.
Линия L может определяться и уравнением вида
, (2)
содержащим полярные координаты.
Пример 1. Один конец отрезка перемещается по оси абсцисс, а другой – по оси ординат. Найти уравнение линии, описываемой серединой этого отрезка, если длина отрезка равна с.
Решение.
Пусть М(х,у) – середина отрезка. Длина отрезка ОМ (длин медианы) равна половине гипотенузы, т.е. . С другой стороны, (расстояние точки М от начала координат).
Таким образом, приходим к уравнению
, или .
Это и есть уравнение искомой линии. Геометрически очевидно, что этой линией является окружность радиуса с центром в начале координат.
Пример 2. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки равно расстоянию этой же точки от прямой .
Решение.
Возьмем на искомой линии произвольную точку М(х;у). Расстояние точки М от точки F определяется по формуле расстояния между двумя точками:
.
Расстояние точки М от прямой найдется из простых геометрических соображений (см. рис.):
.
Так как по условию равенство выполняется для любой точки М, лежащей на искомой линии, то уравнение этой линии можно записать в виде
,
или
,
т.е. .
Линия, определяемая уравнение , называется параболой.
Пример 3. Составить уравнение множества точек, произведение расстояний которых от точек и есть постоянная величина, равная .
Решение.
Возьмем на искомой кривой произвольную точку М(х;у). Ее расстояния от точек и составляют , . Из условия задачи следует, что . Таки образом, искомая кривая имеет уравнение
.
Приведем это уравнение к рациональному виду:
,
т.е.
,
или, наконец,
.
Найденная кривая называется лемнискатой.
Пример 4. Составить уравнение лемнискаты в полярных координатах.
Решение.
В уравнении (см. предыдущий пример) переходим к полярным координатам по формулам , . Тогда получим
, или .
Это – уравнение лемнискаты в полярных координатах.
Пример 5. Составить уравнение множества точек, равноудаленных от точек А(1;1) и В(3;3).
Решение.
Пусть точка М принадлежит искомому множеству; тогда . По формуле расстояния между двумя точками находим
,
и уравнение линии может быть записано в виде
.
Возведя обе части последнего равенства в квадрат, получим
,
откуда после приведения подобных членов окончательно приходим к уравнению . Итак, искомым множеством является прямая, которая, как известно, служит серединным перпендикуляром к отрезку АВ.