Предел последовательности

Как отмечалось раньше, любая последовательность a₁, a₂, ..., a_n , ... есть функция натурального аргумента, a_n = f(n), n  N. Определение предела последовательности почти дословно повторяет определение предела функции при x®+Ґ.

Число b называется пределом последовательности {a_n}, если для любого  > 0 существует такое натуральное число n₀, что для всех натуральных n, больших n₀, выполняется неравенство: | a_n – b | < . Обозначение: a_n = b.

Доказать самостоятельно, что = 0.

Предел функции при X -

Пусть функция y = f(x) определена на R или (–, a). Число b называется пределом функции f(x) при стремлении x к – (x  –), если для любого положительного числа  существует такое x₀, что для всех x, меньших x₀, выполняется неравенство: | f(x) – b | < . Обозначение: f(x) = b.

Г еометрически этот факт означает, что точки графика y = f(x) (рис. 1.5) приближаются как угодно близко к соответствующим точкам прямой y = b при движении x влево неограниченно и что по фиксированному  > 0 найдется число x₀, такое, что для всех x, меньших x₀, график y = f(x) заключен внутри полосы, ограниченной прямыми:

y = b + , y = b – .

Доказать самостоятельно, что = 0

Рассмотренные пределы объединяются общим названием «пределы на бесконечности». Не надо думать, что любая функция, определенная на R, имеет предел при x  + или x  –. Например, sinx не существует, так как значения sinx при неограниченном возрастании x периодически меняются от –1 до +1, не приближаясь ни к какому постоянному числу. Аналогично, не существует sinx. Последовательность: a₁ = 1, a₂ = 3, a₃ = 5, ..., a_n = 2n – 1, ... также не имеет предела.

1.5. Предел функции в точке

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ (возможно, определена на R), но в самой точке x₀ функция f(x) может быть и не определена.

Дадим сначала описательное определение предела функции в точке и приведем пример.

Число b называется пределом функции f(x) в точке x₀ (x  x₀), если значения f(x) приближаются к числу b как угодно близко при условии, что значения аргумента x подходят к x₀ достаточно близко. Обозначение: f(x) = b.

Пример 1. Функция y = определена во всех точках числовой оси, за исключением x₀ = 2. Найдем f(x), для этого вычислим значения f(x) для x, близких к 2, и построим график: y = f(x). Заметим, что для x  2: = 2x.

x	1,6	1,7	1,8	1,9	2,1	2,2	2,3	2,4
y	3,2	3,4	3,6	3,8	4,2	4,4	4,6	4,8

График функции: y = совпадает с прямой: y = 2x для всех x  2 (рис. 1.6). Из таблицы и графика видим, что значения f(x) тем меньше отличаются от числа 4, чем ближе значения аргумента x подходят к 2.

П окажем, что = 4. Для этого убедимся, что | f(x) – 4 | может стать настолько малым, насколько пожелаем: |f(x) – 4| = | – 4 | = | 2x – 4 |, так как x  2.

Потребуем, чтобы |f(x) – 4| < , тогда из неравенства: |2x – 4| < получаем |x – 2| < . Т.е. при значениях x, удовлетворяющих неравенству: 2 – < x < 2 + , выполняется неравенство |f(x) – 4| < .

Аналогично можно показать, что |f(x) – 4| < , если 2 – < x < 2 + и, вообще, для любого (малого) положительного числа  |f(x) – 4| < , если 2 – < x < 2 + (или, что то же самое, | x – 2 | < ). Обозначим = . Итак, = 4.

Дадим строгое определение предела функции в точке.

Число b называется пределом функции f(x) в точке x₀ (при стремлении x к x₀), если для любого положительного числа  найдется положительное число , такое, что для любого x  x₀ и удовлетворяющему неравенству: x₀ –  < x < x₀ + , выполняется неравенство: | f(x) – b| < .

Символически f(x) = b означает:

 > 0  > 0 x  x₀ (x₀ –  < x < x₀ +   | f(x) – b | < ). (*)

З аметим, что условие:

«x  x₀ и x₀ –  < x < x₀ + »

можно записать в виде неравенства: 0 < | x – x₀ | <  , и тогда формула (*) примет вид:

 > 0  > 0 x (0 < | x – x₀ | <   | f(x) – b | < ).

Если f(x) = b, то на графике функции y = f(x) (рис. 1.7) это иллюстрируется (по определению предела) так: для всех точек x, отстоящих от x₀ не далее, чем на  значения f(x) отличаются от b не более чем на .

Пример 2. Показать, что x = x₀.

В самом деле f(x) = x, поэтому для любого  > 0: | f(x) – x₀ | <  при условии | x – x₀ | <  (здесь  = ).