Миноры и алгебраические дополнения

Миноры матрицы

Пусть дана квадратная матрица А, n - ого порядка. Минором некоторого элемента а_ij , определителя матрицы n - ого порядка называется определитель (n - 1) - ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент а_ij. Обозначается М_ij.

Рассмотрим на примере определителя матрицы 3 - его порядка:

, тогда согласно определению минора, минором М₁₂, соответствующим элементу а₁₂, будет определитель:

При этом, с помощью миноров можно облегчать задачу вычисления определителя матрицы. Надо разложить определитель матрицы по некоторой строке и тогда определитель будет равен сумме всех элементов этой строки на их миноры. Разложение определителя матрицы 3 - его порядка будет выглядеть так:

, знак перед произведением равен (-1)ⁿ, где n = i + j.

Алгебраические дополнения:

Алгебраическим дополнением элемента а_ij называется его минор, взятый со знаком "+", если сумма (i + j) четное число, и со знаком "-", если эта сумма нечетное число. Обозначается А_ij. А_ij = (-1)^i+j × М_ij.

Тогда можно переформулировать изложенное выше свойство. Определитель матрицы равен сумме произведение элементов некторого ряда (строки или столбца) матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения. Пример:

 Разложение определителя

     По элементам i-й строки:

     По элементам j-го столбца:

     Например, при n = 4 разложение по первой строке

     Свойства определителя

     1.

     2. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

     3. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух каких-либо ее строе (столбцов), то

     4. Общий множитель всех элементов произвольной строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.

     5. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.

     6. Пусть - квадратная матрица порядка n; k - фиксированное натуральное число: - матрицы, которые получаются из A заменой ее k-й строки (столбца) соответственно строками (столбцами) Тогда

     7. Определитель не меняется от прибавления к какой-либо его строке (столбцу) другой его строки (столбца), умноженной на произвольное число.

     8. Если какая-либо строка (столбец) определителя есть линейная комбинация других его строк (столбцов), то определитель равен нулю.

     9.

ВОПРОС№6

Обра́тная ма́трица — такая матрица A^-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицы

• , где det обозначает определитель.

• (AB) ^{− 1} = B ^{− 1}A ^{− 1} для любых двух обратимых матриц A и B.

• (A^T) ^{− 1} = (A ^{− 1})^T где * ^T обозначает транспонированную матрицу.

• (kA) ^{− 1} = k ^{− 1}A ^{− 1} для любого коэффициента .

• Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A ^{- 1} существует, то x = A ^{− 1}b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.