4. Метод Рунге – Кутта четвертого порядка точности.

Погрешность метода.

, где – константа, зависящая от начальных данных и не зависящая от к.

Замечание: Метод Рунге-Кутта также применяется, если неизвестная функция является вектором, т.е.

, где Лекция 7.

§ 4. Задача теплообмена в трубопроводе нефтеперевозки . Дифференциальные уравнения второго порядка. Краевая задача

1-го рода.

4.1. Постановка задачи.

Задача 4. Длинный трубопровод с теплопроводностью λ (ккал/м.час град.) находится в состоянии теплового равновесия, т.е. температура точек трубопровода не изменяется во времени. Потеря тепла через поверхность трубопровода в окружающую среду, температура которой , пропорциональна разности температур с постоянным коэффициентом теплопередачи α (ккал/м². час град.). Считая температуру θ во всех точах поперечного сечения трубопровода постоянной, найти ее зависимость θ = θ(х) от координаты, отсчитываемой от какого-либо конца.

4.2. Математическая модель.

Строго говоря, решение этой задачи приводит к дифференциальному уравнению с частными производными, так как температура в поперечном сечений трубопровода не вполне постоянна и является функцией расстояния х и расстояния поверхности стержня.

Однако, если трубопровод достаточно тонкий и если теплопроводность его велика, то мы можем без существенной ошибки пренебречь температурными градиентами в направлениях перпендикулярных к оси трубопровода и принять температуру постоянной в каждой точке поперечного сечения, перпендикулярного оси Ох. При таком допущении температура является функцией только одного независимого переменного и распределение температуры может быть описано обыкновенным дифференциальным уравнением.

Пусть длина стержня равна l м, периметр поперечного сечения p м, площадь поперечного сечения Q м². Исследуем процесс распространения тепла в элементарном отрезке длиной dx на расстоянии х от того конца стержня, температура которого t₁. Количество тепла проходящего за время d через сечение трубопровода находящееся на расстоянии х от начало трубопровода, согласно теории теплопередачи, будет равно:

Количество тепла, прошедшее за время d через сечение, находящееся на расстоянии х + dx от начала, будет равна:

Участок стержня, заключенный между сечениями, отстоящими от начала на расстояниях х и х + dx, вследствие теплопроводности, приобретает за время d количество тепла, равное разности указанных количеств, т.е.:

За то же время потеря тепла от этого же участка в окружающую среду будет равна:

Но так как изучаемый нами процесс является стационарным, то:

Окончательно мы приходим к следующему дифференциальному уравнению:

В итоге получена задача:

Это уравнение с постоянными коэффициентами. Его общий интеграл будет:

Используя граничные условия, составим систему:

откуда

Подставляя значения С₁ и С₂ получим:

Выделим элемент длины dх, находящийся на расстояний х от левого конца, и примем его температуру равной . За время ∆t через левую границу этого элемента пройдет количество тепла