- •Пояснительная записка
- •Программа курса
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения
- •2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.6. Приложения дифференциального исчисления
- •2.7. Функции нескольких переменных
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2.9. Определенный интеграл
- •2.10. Кратные интегралы
- •2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •2.12. Ряды
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1.1. Аналитическая геометрия на плоскости Метод координат
- •Ответы на тестовые задания
- •Прямая линия
- •Ответы на тестовые задания
- •Кривые второго порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Парабола
- •Ответы на тестовые задания
- •1.2. Векторная алгебра
- •Линейные операции над векторами
- •Векторный базис на плоскости и в пространстве
- •Скалярное произведение векторов
- •Операции над векторами в координатной форме
- •Ответы на тестовые задания
- •1.3. Элементы аналитической геометрии в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве r3
- •1.4. Матрицы
- •Ответы на тестовые задания
- •1.5. Системы линейных уравнений и неравенств
- •Ответы на тестовые задания
- •1.6. Комплексные числа
- •Ответы на тестовые задания
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения
- •2.1. Числовая последовательность и ее предел Действительные числа. Числовые множества
- •Числовые последовательности
- •Предел числовой последовательности
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
- •Ответы на тестовые задания
- •2.2. Предел функции одной переменной
- •Ответы на тестовые задания
- •2.3. Непрерывные функции одной переменной
- •Критерий непрерывности функции
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Ответы на тестовые задания
- •2.4. Производная и дифференциал функции одной переменной Определение и геометрический смысл производной
- •Правила дифференцирования и таблица производных
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Дифференцирование неявных функций
- •Производная высших порядков
- •Применение производной в экономике
- •Дифференциал функции
- •Ответы на тестовые задания
- •2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма
- •Теорема Ролля
- •Теорема Лагранжа
- •Теорема Коши
- •Правило Лопиталя
- •Ответы на тестовые задания
- •2.6. Приложения дифференциального исчисления Четность, нечетность и периодичность функции
- •Условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Общая схема исследования функции и построения графика
- •Ответы на тестовые задания
- •2.7. Функции нескольких переменных Понятие функции нескольких переменных
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Предел функции
- •Решение
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Частные производные и дифференциал функции
- •Решение
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Решение
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Производная по направлению. Градиент
- •Решение
- •Решение
- •Дифференцирование сложных и неявных функций Случай одной независимой переменной
- •Случай нескольких независимых переменных
- •Дифференциал сложной функции
- •Неявная функция одной переменной
- •Неявная функция двух переменных
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые условия экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Условный экстремум
- •Решение
- •Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области (глобальный экстремум)
- •Решение
- •Эмпирические формулы
- •Решение
- •Ответы на тестовые задания
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Интегрирование способом подстановки
- •Интегрирование по частям
- •Ответы на тестовые задания
- •2.9. Определенный интеграл Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Вычисление площадей плоских фигур при помощи определенного интеграла
- •Вычисление объема тела вращения при помощи определенного интеграла
- •Применение определенного интеграла в экономике
- •Вычисление дуги кривой при помощи определенного интеграла
Непрерывность функции двух переменных
Функция z = f(x; y) называется непрерывной в точке (x0; y0), если она:
1) определена в точке (x0; y0);
2) имеет конечный предел при x x0 и y y0;
3) этот предел равен значению функции в точке (x0; y0), т. е.
Геометрический смысл непрерывности заключается в том, что график в точке (x0; y0) представляет собой сплошную нерасслаивающуюся поверхность.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в данной области.
Если в некоторой точке N(x; y) не выполняется условие непрерывности, то эта точка называется точкой разрыва функции z = f(x; y).
Нарушение условий непрерывности функции z = f(x; y) может происходить как в отдельных точках, так и в точках, образующих некоторую линию (линия разрыва).
Пример 10. Найти точки разрыва функций:
1)
2)
3)
Решение
1. Данная функция определена для любых x, y, таких, что х – у 0, т. е. х у. Следовательно, прямая x = y является линией разрыва функции.
2. Данная функция определена на R2 всюду, кроме точки (5; 0), которая и является точкой разрыва функции.
3. Функция определена для любых x, y, z, таких, что Сфера с центром в начале координат и радиусом 4 является поверхностью разрыва функции.
Тест 6. Функция не является непрерывной в точке:
1) (0; 0);
2) (2; 1);
3) (0; 1);
4) (8; 0);
5) (1; 2).
Частные производные и дифференциал функции
Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует).
Для функции имеем:
(частная производная по переменной х);
(частная производная по переменной y).
Из определения частных производных следует, что для нахождения производной надо считать постоянной переменную y, а для нахождения – переменную x.
При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все другие аргументы постоянными.
Полным дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответ- ствующих независимых переменных, т. е.
Для независимых переменных x и y любые приращения x и y будем считать их дифференциалами, т. е. и
Тогда полный дифференциал функции z = f(x; y) вычисляется по следующей формуле:
а для функции трех переменных u = f(x; y; x):
Полный дифференциал часто используется для приближенных вычислений значений функции, т. е.
Существование частных производных является лишь необходимым, но недостаточным условием дифференцируемости функции.
Следующая теорема выражает достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных.
Теорема. Для того чтобы функция z = f(x; y) была дифференцируемой в данной точке, достаточно, чтобы она обладала частными производными, непрерывными в этой точке.
Пример 11. Вычислить частные производные и полный дифференциал функции