![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Пояснительная записка
- •Программа курса
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения
- •2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.6. Приложения дифференциального исчисления
- •2.7. Функции нескольких переменных
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2.9. Определенный интеграл
- •2.10. Кратные интегралы
- •2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •2.12. Ряды
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1.1. Аналитическая геометрия на плоскости Метод координат
- •Ответы на тестовые задания
- •Прямая линия
- •Ответы на тестовые задания
- •Кривые второго порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Парабола
- •Ответы на тестовые задания
- •1.2. Векторная алгебра
- •Линейные операции над векторами
- •Векторный базис на плоскости и в пространстве
- •Скалярное произведение векторов
- •Операции над векторами в координатной форме
- •Ответы на тестовые задания
- •1.3. Элементы аналитической геометрии в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве r3
- •1.4. Матрицы
- •Ответы на тестовые задания
- •1.5. Системы линейных уравнений и неравенств
- •Ответы на тестовые задания
- •1.6. Комплексные числа
- •Ответы на тестовые задания
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения
- •2.1. Числовая последовательность и ее предел Действительные числа. Числовые множества
- •Числовые последовательности
- •Предел числовой последовательности
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
- •Ответы на тестовые задания
- •2.2. Предел функции одной переменной
- •Ответы на тестовые задания
- •2.3. Непрерывные функции одной переменной
- •Критерий непрерывности функции
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Ответы на тестовые задания
- •2.4. Производная и дифференциал функции одной переменной Определение и геометрический смысл производной
- •Правила дифференцирования и таблица производных
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Дифференцирование неявных функций
- •Производная высших порядков
- •Применение производной в экономике
- •Дифференциал функции
- •Ответы на тестовые задания
- •2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма
- •Теорема Ролля
- •Теорема Лагранжа
- •Теорема Коши
- •Правило Лопиталя
- •Ответы на тестовые задания
- •2.6. Приложения дифференциального исчисления Четность, нечетность и периодичность функции
- •Условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Общая схема исследования функции и построения графика
- •Ответы на тестовые задания
- •2.7. Функции нескольких переменных Понятие функции нескольких переменных
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Предел функции
- •Решение
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Частные производные и дифференциал функции
- •Решение
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Решение
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Производная по направлению. Градиент
- •Решение
- •Решение
- •Дифференцирование сложных и неявных функций Случай одной независимой переменной
- •Случай нескольких независимых переменных
- •Дифференциал сложной функции
- •Неявная функция одной переменной
- •Неявная функция двух переменных
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые условия экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Условный экстремум
- •Решение
- •Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области (глобальный экстремум)
- •Решение
- •Эмпирические формулы
- •Решение
- •Ответы на тестовые задания
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Интегрирование способом подстановки
- •Интегрирование по частям
- •Ответы на тестовые задания
- •2.9. Определенный интеграл Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Вычисление площадей плоских фигур при помощи определенного интеграла
- •Вычисление объема тела вращения при помощи определенного интеграла
- •Применение определенного интеграла в экономике
- •Вычисление дуги кривой при помощи определенного интеграла
Производная сложной функции
Есть функция y = f(u), где и = j(x).
Функция, заданная формулой y = f((x)), называется сложной функцией.
Пример
4.
Функция f(x)
= 2x2+1
– сложная: f(u)
= 2u,
= x2
+ 1.
Если функция (x) дифференцируема в точке x, а функция f(u) – в точке u = (x), то сложная функция y = f((x)) тоже дифференцируема и справедлива теорема, представленная ниже.
Теорема. Производную сложной функции y = f((x)) можно найти по формуле
Пример 5.
Найти производную функции
Решение
Пусть
тогда
По теореме о производной сложной функции
Тогда
Тест 4.
Производная
функции
равна:
1)
2)
3)
4)
5)
Производная обратной функции
Пусть
y
= f(x)
– непрерывная и возрастающая на [a;
b].
Значит, на этом промежутке она имеет
обратную функцию
Теорема.
Если функция y
= f(x)
определена, непрерывна и монотонна на
[a;
b]
и в точке
[a;
b]
имеет производную
то обратная функция x
= (y)
имеет производную в точке y0
= f(x0)
которую
можно найти по формуле
т. е. производная обратной функции равна
обратной величине производной данной
функции.
Пример
6.
Пользуясь правилом дифференцирования
обратной функции,
найти производную
для функции
.
Решение
Находим обратную
функцию. Так как
то y3
= x
– 1. Значит,
.
Обратная функция
имеет производную
Следовательно,
Логарифмическое дифференцирование
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.
Пример 7.
Найти производную функции
Решение
Логарифмируя
данное равенство по основанию e,
получаем
Дифференцируя
полученное равенство, находим
,
откуда
Подставляем
и получаем
Дифференцирование неявных функций
Если функция задана уравнением y = f(x), разрешенным относительно y, то функция задана в явном виде.
Под
неявным заданием функции понимают
задание функции в виде уравнения F(x;
y)
= 0, неразрешенного относительно y.
Например,
y
+ 2x
+ cos y
– 1 = 0 или
Для
нахождения производной неявной функции
необходимо продифференцировать это
уравнение по
x,
рассматривая при
этом
y
как функцию
x,
и
затем полученное уравнение
разрешить
относительно
Пример 8. Найти
производную функции y,
заданную уравнением
Решение
Функция у задана неявно. Дифференцируем по x равенство x3 + y3 – – 3xy = 0
Из последнего
соотношения следует, что
.
Производная высших порядков
Производная
функции y
= f(x)
есть также функция x
и называется производной
первого порядка.
Если
функция
дифференцируема, то ее производная
называется
производной
второго порядка
и обозначается
или
Производная от
производной второго порядка, если она
существует, называется производной
третьего порядка
и обозначается
или
Производной n-го
порядка (или n-й
производной) называется производная
от производной (n
–1)
порядка:
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Пример 9.
Найти
вторую производную функции
Решение
Находим первую производную функции
Дифференцируем еще раз
Тест 5.
Производная
третьего порядка функции
равна:
1) 16x;
2) (16х)3;
3)
4)
5) 0.