- •Пояснительная записка
- •Программа курса
- •Тема 5. Функции одной переменной. Непрерывность
- •Тема 6. Дифференцирование функции одной переменной
- •Тема 7. Функции нескольких переменных. Дифференцирование функции нескольких переменных
- •Тема 8. Неопределенный интеграл
- •Тема 9. Определенный интеграл и его применение
- •Тема 10. Дифференциальные уравнения
- •Тема 11. Ряды
- •Методические указания по выполнению заданий контрольной работы № 1
- •1. Задания 1 и 2 по теме «Элементы аналитической геометрии на плоскости» Краткие теоретические сведения
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Задания 3 и 4 по теме «Элементы линейной алгебры и теории n-мерных векторных пространств» Краткие теоретические сведения
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Задание 5 по теме «Теория пределов» Краткие теоретические сведения
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Задания 6 и 7 по теме «Производная и ее применение для исследования функций» Краткие теоретические сведения
- •Вопросы для самопроверки
- •Методические указания по выполнению заданий контрольной работы № 2
- •1. Задание 1 по теме «Частные производные функции нескольких переменных» Краткие теоретические сведения
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Задания 2 и 3 по теме «Неопределенный интеграл, определенный интеграл и его применение для вычисления площади фигуры» Краткие теоретические сведения
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Задания 4 и 5 по теме «Ряды и их применение к приближенным вычислениям определенных интегралов» Краткие теоретические сведения
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Задания 6 и 7 по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Краткие теоретические сведения
- •Вопросы для самопроверки
- •Требования к оформлению контрольных работ
- •Варианты контрольной работы № 1
- •Варианты контрольной работы № 2
- •Задания контрольной работы № 1
- •Задания контрольной работы № 2
- •Задачи 31–40
- •Список рекомендуемой литературы
- •Содержание
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
- •2 46029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
Вопросы для самопроверки
Что называется обыкновенным дифференциальным уравнением? Приведите примеры.
Что называется общим решением дифференциального уравнения n-го порядка? Что такое частное решение этого уравнения?
Где применяются дифференциальные уравнения в области экономики? Приведите примеры.
В чем состоит задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной? Опишите геометрическую интерпретацию этой задачи.
Какое дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными? Как оно решается?
Какое уравнение называется линейным неоднородным уравнением первого порядка и как оно решается?
Что называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка? Какими свойствами обладает общее решение этого уравнения?
Каким образом решается линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами?
Что называется линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами? Какова структура его общего решения?
Какие вы знаете случаи нахождения частного решения неоднородного уравнения по виду его правой части?
Типовая задача 6
Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка решаем методом Бернулли. Полагаем, что y = u · v, где u, v — некоторые неизвестные пока функции. Тогда y' = u' · v + u · v'. Подставляя в данное уравнение вместо y, y' их указанные значения, получим:
или
. (9)
Выберем функцию таким образом, чтобы выполнялось равенство .
Отсюда, учитывая, что , представим уравнение в виде
.
Интегрируем: .
Отсюда
где с = lnc1 ,
где с2 = c1 .
Пусть с2 = 1. Тогда .
Подставляя полученное значение функции v в формулу (9), получим:
= , ,
, , u = sin x + C.
Таким образом, — общее решение данного дифференциального уравнения.
Теперь решаем задачу Коши. Подставляем в формулу общего решения вместо х, у соответственно числа :
Итак, — частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее поставленному начальному условию.
Ответ: , .
Типовая задача 7
Найти общее решение дифференциального уравнения y'' – 5y' + 4y = = x2 – 1.
Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решаем однородное уравнение y'' – 5y' + 4y = 0. Для этого составляем характеристическое уравнение k2 – 5k + 4 = 0, откуда k1 = 1, k2 = 4.
Тогда y = C1 · ex + C2 · e4x — общее решение однородного уравнения.
Находим частное решение неоднородного уравнения. Его будем искать в виде .
Тогда . Подставляя полученные значения , , в исходное уравнение, будем иметь:
2A – 10Ax – 5B + 4Ax2 + 4Bx + 4C = x2 – 1,
или
4Ax2 + (4B – 10A) · x + 2A – 5B + 4C = x2 – 1.
Два многочлена между собой равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях. Отсюда
Таким образом,
Итак, — общее решение данного неоднородного уравнения.
Ответ: .