15 Задание №1

Из данной совокупности секвенций выбрать доказуемые, построить их доказательства, для недоказуемых показать их недоказуемость с помощью:

а) Алгоритма Квайна,

б) Алгоритма редукции,

в) Метода резолюций.

Среди этих доказательств недоказуемости выбрать оптимальный в каждом конкретном случае.

1) x, y, yu, uxz |- uz

2) |- (x((yx)  z))  (yz)

3) xy |- (zx)  (yz)

4) x, y |- (x  z)  (y z)

Решение:

Секвенция 1) – недоказуема.

Проверка:

а) Алгоритм Квайна:

xy(yu)(uxz) |- uz

Пусть x = 1, тогда:

y(yu)(uz) |- uz

Пусть y=1, тогда:

11(uz) |- uz

Пусть u=0, тогда:

10z |- 0z

Пусть z=0 тогда:

1 |- 0 – тождественно ложно => секвенция недоказуема

б) Алгоритм редукции:

Предположим: xy(yu)(uxz)  uz = 0

Тогда xy(yu)(uxz)=1, uz=0 => u=0, z=0.

Подставим u=0, z=0 в xy(yu)(uxz)=1:

Обязательно должно быть (uxz)=1

(0x1)=1

1=1 => непротиворечиво => секвенция недоказуема

в) Метод резолюции (оптимальный):

Докажем противоречивость:

xy(yu)(uxz), (uz)

Приводим к КНФ:

x, y, (yu), (uxz), u,z

(1) x

(2) y

(3) yu

(4) uxz

(5) u

(6) z

(7) res_u(3,5) = y

Данное множество непротиворечиво => секвенция недоказуема.

Секвенция 2) – недоказуема.

Проверка:

а) Алгоритм Квайна:

|- (x((yx)  z))  (yz)

Пусть x = 0, тогда:

|- (0((y0)  z))  (yz)

Пусть y=1, тогда:

|- (0((1)  z))  (1z)

Пусть z=0, тогда:

|- 0  0

1 |- 0 – тождественно ложно => секвенция недоказуема

б) Алгоритм редукции (оптимальный):

Предположим: |- (x((yx)  z))  (yz) = 0

Тогда (x((yx)  z))  (yz) = 0 => x=0, y=1, z=0.

Подставим x=0, y=1, z=0 в 1:

0=0 или

1=1 => непротиворечиво => секвенция недоказуема

в) Метод резолюции:

Докажем противоречивость:

 (x((yx)  z))  (yz)

Приводим к КНФ:

 ((x((yx)  z))  (yz))

 ((x((yx)  z))  (yz))

 ( (x((yx)  z))  (yz))

 ( (x yx z))  (yz))

 ( (x yz))  (yz))

 (x yz) (yz)

(xyz)(yz)

(1) (xyz)

(2) y

(3) z

(4) res_y(1,2) = (xz)

(5) res_z(1,3) = (xy)

Данное множество непротиворечиво => секвенция недоказуема.

Секвенция 3) –недоказуема.

Проверка:

а) Алгоритм Квайна(оптимальный):

xy |- (zx)  (yz)

Пусть x = 1, тогда:

1y |- (z1)  (yz)

Пусть y=0, тогда:

1 |- z  0

Пусть z=0, тогда:

1 |- 0 – тождественно ложно => секвенция недоказуема

б) Алгоритм редукции:

Предположим: xy |- (zx)  (yz) = 0

Тогда xy =1, (zx)  (yz) = 0

Тогда (zx)=1, (yz) = 0 => z=1, x=1, y=0

Подставим z=1, x=1, y=0 в xy =1:

Обязательно должно быть (10)=1

1=1 => непротиворечиво => секвенция недоказуема

в) Метод резолюции:

Докажем противоречивость:

xy, ((zx)  (yz))

Приводим к КНФ:

xy, ((zx) (yz))

xy, ((zx) (yz))

xy, z,x, (yz)

(1) xy

(2) z

(3) x

(4) (yz)

(5) res_y(2,4) =y

(6) res_y(1,5) =x

Данное множество непротиворечиво => секвенция недоказуема.

Секвенция 4) – доказуема.

Проверка:

По формулам вывода:

0 |- z = > тождественно истина => секвенция доказуема

Для док-ва воспользуемся эквив-тями ИП:

()(),  ()(),

 (x) () (x)

преобразуем:

(xz)(yz) (xz)(yz)(xz)(yz)(xz)(yz)   (x y z)  (z y z) x y z

получили:

x , y |-x y z

аксиома:

 y |-  y 11,12

x, y|-  y 5

x, y |- x y 4

x, y |- x y  z

Задание №2

Найти формулу исчисления предикатов истинную на алгебраической системе  и ложную на .

C, · 

 R, · 

Решение:

тк на множестве С-комплексных чисел, существует i –мнимая единица , запишим:

x z ((z z ) x= - x),тогда формула ИП примет вид:

x z ((z z ) x= - x) 

x z ((z z ) x= - x) 

Вариант решение 2:

x z [( u (u,v)=u) ( (x,x)=v (x=v))] z ( (z,z))=x

v=1

x=-1

Задание №3

Построить доказательство формулы в исчислении предикатов:

(P(x)yQ(y))  y(P(x)Q(y))

Решение:

Используя привила вывода в ИП получим:

Задание №4

Установить, выполнима ли следующая формула и если выполнима, то построить модель этой формулы.

xP(x,x)xy(P(x,y)  P(y,x))xyz(P(z,x)P(z,y))

Решение:

1) Удаляем импликацию:

xP(x,x)xy(P(x,y)  P(y,x))xyz(P(z,x)P(z,y))

2) Вносим отрицание к атомарным формулам:

xP(x,x)xy(P(x,y)  P(y,x))xyz(P(z,x)P(z,y))

3) Вынесем поочередно кванторы во внешнюю часть

xvy P(x,x) (P(v,y)  P(y,v))xyz(P(z,x)P(z,y))

xvyuwz P(x,x) (P(v,y)  P(y,v)) P(z,u)P(z,w)

4) Получим КлНФ, методом резолюций проверим выполнимость данной формулы:

(1) P(x,x)

(2) (P(v,y)  P(y,v))

(3) P(z,u)

(4) P(z,w)

(5) res(1,3) = res(1,4)=0 =>

данная формула противаречива

модель построить нельзя.

Задание №5

Привести к пренексной и клазуальной нормальной формам следующую формулу

x(yP(x,y)yQ(x,y))xyQ(x,y)

Решение:

1) Удаляем импликацию:

x(yP(x,y)yQ(x,y))xyQ(x,y)

2) Вносим отрицание к атомарным формулам:

x((yP(x,y)yQ(x,y)))xyQ(x,y)

x(yP(x,y)yQ(x,y))xyQ(x,y)

3) Вынесем поочередно кванторы во внешнюю часть

xy(P(x,y)yQ(x,y))xyQ(x,y)

xyu(P(x,y)Q(x,u))xyQ(x,y)

xyuvw(P(x,y)Q(x,u))Q(v,w)

4) Бескванторное ядро приводим к ДНФ и КНФ и получаем ПНФ и КлНФ соответственно:

xyuvw(P(x,y)Q(x,u)Q(v,w)) – КлНФ и ПНФ

Задание №6

Методом резолюций проверить, противоречиво ли множество предложений {₁,₂,₃}. Если множество непротиворечиво, то построить модель этого множества.

₁ = xyz((P₁(x,y)  P₂(y,z))(P₂(y,z)P₁(x,y)))

₂ = xy(P₁(x,y)P₂(y,x))

₃ = xy(P₁(x,y) P₂(x,y))

Решение:

Устраним непротиворечивость методом резолюций, если не противоречиво, то построим модель.

₁  xyz((P₁(x,y)P₂(y,z)) (P₂(y,z)P₁(x,y)))

₂ = xy(P₁(x,y)P₂(y,x))

₃ = xy(P₁(x,y)  P₂(x,y))

{₁,₂,₃} = (P₁(x,y)P₂(y,z)), (P₂(y,z)P₁(x,y), P₁(x,y), P₂(y,x), P₁(x,y), P₂(x,y))

Пусть в ₁ x=c₁ , y=c₂ ,z=c₃; в ₂ y=c₄; тогда:

{₁,₂,₃} = (P₁(c₁, c₂)P₂(c₂, c₃)), (P₂(c₂, c₃)P₁(c₁, c₂), P₁(x, c₄), P₂(c₄,x), P₁(x,y), P₂(x,y))

1. (P₁(c₁, c₂)P₂(c₂, c₃))

2. (P₂(c₂, c₃)P₁(c₁, c₂)

3. P₁(x, c₄)

(4) P₂(c₄,x)

(5) P₁(x,y)

(6) P₂(x,y)

(7) res_P1,p2(1,2)= 0 => данное множество противоречиво, модели не существует

Задание №7

Доказать примитивную рекурсивность функций, выражая их через простейшие с помощью операторов суперпозиции и примитивной рекурсии.

f(x)=4x

Доказательство:

Введём функцию:h(x1,x2)

I ₁ ¹(x)= 2 0+1=1

h(x1,x2+1)= f(x1,x2,h(x1,x2))=f(x1,x2,h(x1,x2))=s(,h(x1,x2 ))= h(x1,x2)+1=

= x1+(x2+1)

то доказали прим рекурсивность функции

Задание №8

Построить машину Тьюринга для вычисления функции:

f(x)=4x

Решение:

…

0

0

1

….

1

0

q₁

q₁01^x0 > q₀01^4x0

Например: x=2, тогда 4x=4*2=8, тогда Машина выглядит так в начальном состоянии:

….

0

1

1

0

….

q₁

1q₁ -> 0q₁

0q₁ -> Rq₂

1q₂ -> Rq₂

0q₂ -> Rq₃

0q₃ -> 1q₄

1q₃ -> Rq₃

1q₄ -> Rq₅

0q₅ -> 1q₆

1q₆ -> Rq₇

0q₇ -> 1q₈

1q₈ -> Rq₉

0q₉ -> 1q₁₀

….

0

0

1

0

1

1

1

1

0

….

q₁₀

1q₁₀ -> Lq₁₁

0q₁₁ -> Lq₁₂

0q₁₂ -> Rq₁₄

1q₁₂ -> Lq₁₃

1q₁₃ -> Lq₁₃

0q₁₃ -> Rq₁

….

0

0

1

0

1

1

1

1

0

….

q₁

При повторении действии q₁-q₁₃ получаем искомую Машину: q₀01^4x0

0q₁₄ -> Rq₀

….

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

….

q₀