Решение:

xy(xy)P(x,y)

Задание №3

Построить доказательство формулы в исчислении предикатов.

x (P(x)Q(x))x (P(x)Q(x))

Решение:

Безусловный вывод.

 x(P(x)Q(x))x(P(x)Q(x))

Задание №4

Установить, выполнима ли следующая формула и если выполнима, то построить модель этой формулы.

xP(x,x)x,y(P(x,y)P(y,x))xyzu(P(u,x)P(u,y)P(u,z))

Решение:

1. Удаляем импликацию:

xP(x,x)x,y(P(x,y)P(y,x))xyzu(P(u,x)P(u,y)P(u,z))

2. Вносим отрицание к атомарным формулам:

xP(x,x)x,y(P(x,y)P(y,x))xyzu(P(u,x)P(u,y)P(u,z))

3. Вынесем поочередно кванторы во внешнюю часть:

xv,yP(x,x)(P(v,y)P(y,v))xyzu(P(u,x)P(u,y)P(u,z))

xv,ynmzuP(x,x)(P(v,y)P(y,v))P(u,n)P(u,m)P(u,z)

4. Получили КлНФ. Методом резолюций проверим выполнимость данной формулы:

12. P(x,x)

13. P(v,y)P(y,v)

14. P(u,n)

15. P(u,m)

16. P(u,z)

17. res(1,3) = res(1,4) = res(1,5) = 0

Значит данное множество невыполнимо!

Задание №5

Привести к пренексной и клазуальной нормальным формам следующую формулу: xP(x,y)x((yP(x,y)yQ(x,y))yR(x,y))

Решение:

1. Удаляем импликацию:

xP(x,y)x((yP(x,y)yQ(x,y))yR(x,y))

2. Вносим отрицание к атомарным формулам:

xP(x,y)x((yP(x,y)yQ(x,y))yR(x,y))

3. Вынесем поочередно кванторы во внешнюю часть:

xzP(x,y)((yP(z,y)yQ(z,y))yR(z,y))

xzuP(x,y)((P(z,u)yQ(z,y))yR(z,y))

xzuvP(x,y)((P(z,u)Q(z,v))yR(z,y))

xzuvwP(x,y)(P(z,u)Q(z,v))R(z,w)

4. Бескванторное ядро приводим к ДНФ и КНФ и получаем соответственно ПНФ и КлНФ:

xzuvwP(x,y)(P(z,u)Q(z,v))R(z,w) - КлНФ

xzuvwP(x,y)((P(z,u)R(z,w))(Q(z,v)R(z,w)))

xzuvw(P(x,y)P(z,u)R(z,w))(P(x,y)Q(z,v)R(z,w))) – ПНФ

Задание №6

Методом резолюций проверить, противоречиво ли множество предложений {₁,₂,₃}. Если множество непротиворечиво, то построить модель множества.

₁ = xyzu(P₁(x,y)(P₁(x,y)P₂(x,z,u)))

₂ = xyz(P(x,y,z)uv(P₂(x,y,z)P₁(x,u)P₁(v,x)))

₃ = xyz(P₂(z,x,y)P₁(z,x))

Решение:

₁ = xyzu(P₁(x,y)(P₁(x,y)P₂(x,z,u)))

₂ = xyzuv(P(x,y,z)(P₂(x,y,z)P₁(x,u)P₁(v,x)))

₂ = xyzuv(P(x,y,z)(P₂(x,y,z)(P₁(x,u)P₁(v,x))))

₂ = xyzuv(P(x,y,z)(P₂(x,y,z)P₁(x,u))(P₂(x,y,z)P₁(v,x)))

₃ = xyz(P₂(z,x,y)P₁(z,x))

{₁,₂,₃} = {P₁(x,y), P₁(x,y)P₂(x,z,u)), P(x,y,z), P₂(x,y,z)P₁(x,u)), P₂(x,y,z)P₁(v,x)), P₂(z,x,y), P₁(z,x)}

Пусть в ₁ y = с₁, z = с₂, в ₂ x = с₃, u = с₄, v = с₅, в ₃ z = с₆ тогда:

{₁,₂,₃} = {P₁(x,с₁), P₁(x,с₁)P₂(x,с₂,u), P(с₃,y,z), P₂(с₃,y,z)P₁(с₃,с₅), P₂(с₃,y,z)P₁(с₅,с₃), P₂(с₆,x,y), P₁(с₆,x)}

13. P₁(x,с₁)

14. P₁(x,с₁)P₂(x,с₂,u)

15. P(с₃,y,z)

16. P₂(с₃,y,z)P₁(с₃,с₅)

17. P₂(с₃,y,z)P₁(с₅,с₃)

18. P₂(с₆,x,y)

19. P₁(с₆,x)

20. res(1,2) = P₂(x,с₂,u)

21. res(1,7) = 0

22. res(4,6) = res(4,8) = P₁(с₃,с₅)

23. res(5,6) = res(5,8) = P₁(с₅,с₃)

24. res(7,10) = res(7,11) = 0

Данное множество противоречиво! Модели не существует!

Задание №7

Доказать примитивную рекурсивность функций, выражая их через простейшие с помощью операторов суперпозиции и примитивной рекурсии.

x-y, при x>y

F(x,y) =

0, при xy

I₁²(x,y) = x,

S(I₃³(x, y, z)) = f(x, y) + 1,

I₂²(x,y) = 0