![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Кафедра информатики, статистики и высшей математики
- •Часть 3 «теория вероятностей и математическая статистика»
- •Случайные события. Вероятность.
- •Классический способ задания вероятности
- •Геометрический способ задания вероятности
- •Дискретный способ задания вероятности
- •Статистический способ задания вероятности
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Лекция №2 Свойства вероятностей. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •Лекция №3 Случайные величины. Функции распределения случайных величин
- •Показательное распределение. Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , которое описывается функцией плотности вероятности:
- •Лекция №4. Нормальное распределение.
- •Лекция 5. Предельные теоремы и законы больших чисел
- •Лекция №7. Предмет математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационные ряды и их характеристики
- •Лекция 8. Связь между генеральной и выборочной совокупностью.
- •Предельные ошибки и необходимый объем выборки (Повторный и бесповторный отбор)
- •Лекция №9. Проверка статистических гипотез.
- •Проверка гипотез о равенстве средних значений при известной и неизвестной дисперсии.
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей.
- •Лекция№10.Проверка статистических гипотез о законе распределения генеральной совокупности
- •Критерий согласия (хи- квадрат) Пирсона
- •Критерий согласия Колмогорова
- •Лекция №11. Основные понятия дисперсионного анализа
- •Однофакторный дисперсионный анализ
- •Понятие о двухфакторном дисперсионном анализе
- •Лекция№12. Корреляционно – регрессионный анализ
- •Свойства выборочного (статистического) коэффициента корреляции
- •Понятие о нелинейной регрессии, индекс корреляции и коэффициент детерминации
- •Вопросы
Лекция №4. Нормальное распределение.
Распределение с непрерывной случайной величины называется нормальным, если плотность распределения ее описывается формулой:
где
- параметры распределения.
Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону:
Полученный интеграл нельзя выразить через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию:
,
называемую
нормальной функцией распределения
(функцией Лапласа). Эта функция
неубывающая, непрерывная слева и
Математическое ожидание и дисперсия
соответственно равны
Центральные моменты случайной величины с нормальным законом распределения вычисляются через следующие рекуррентные соотношения:
поскольку
то
нечетные центральные моменты равны
нулю, а четные центральные моменты
равны:
Коэффициенты ассиметрии и эксцесса для нормального закона распределения равны нулю:
так как они характеризуют скошенность и крутизну исследуемового закона распределения по сравнению с нормальным.
Вероятность
попадания случайной величины
,
подчиненной нормальному закону
распределения, на заданный интервал
,
определяется следующим образом:
или
функция
Лапласа.
Вероятность заданного отклонения вычисляется по формуле:
или
Интервалом
практически возможных значений случайной
величины
,
распределенной по нормальному закону
, будет интервал
Тесты для самоконтроля:
Нормальный закон распределения имеет следующую функцию плотности распределения :
Для нормального закона распределения вероятность попадания случайной величины в интервал
равен:
Задачи для самостоятельной работы:
1. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически: средняя масса одной коробки – 1,06 кг. Известно, что только 5% коробок имеют массу меньше 1 кг. Найти стандартное отклонение, предполагая, что масса коробок распределена нормально.
Решение.
Пусть случайная величина
- масса коробки с шоколадом. Из условия
задачи следует, что случайная величина
распределена
нормально и что
.
Тогла стандартное отклонение
найдем из формулы, используя равенство
Так как только 5% коробок имеют массу меньше 1 кг и, следовательно, масса остальных коробок больше 1 кг., то можно записать:
или
По
таблице находим
откуда
.
Ответ:
2.
На автоматическом
токарном станке изготавливаются болты,
номинальная длина которых 30 мм. Наблюдаются
случайные отклонения от этого размера,
распределенные по нормальному закону
с математическим ожиданием
и средним квадратическим отклонением
1мм.
При контроле бракуются все болты, размеры
которых отличаются от номинального
больше, чем на допуск
3
мм. Найти вероятность того, что наудачу
выбранный болт будет бракованный.
Ответ: 0,0028.
3.
Случайная
величина
подчинена нормальному закону с
математическим ожиданием
и средним квадратическим отклонением
.
При каком значении
вероятность
попадания случайной величины
в
интервал (2.4) достигает максимума?
Ответ:
2,942.
4. В нормально распределенной совокупности 15% значений Х меньше 12 и 40% значений Х больше 16,2. Найти среднее значение и стандартное отклонение данного распределения.
Ответ: =15,39; =3,26.
5. Химический завод изготавливает серную кислоту номинальной плотности 1,84 г/см кубический. В результате статистических испытаний обнаружено, что практически 99,9% всех выпускаемых реактивов имеют плотность в интервале (1,82; 1,86). Найти вероятность того, что кислота удовлетворяет стандарту, если для этого достаточно, чтобы ее плотность не отклонялась от номинальной более, чем на 0,01 г/ см. кубический.
Ответ: 0,898.