- •Кафедра информатики, статистики и высшей математики
- •Часть 3 «теория вероятностей и математическая статистика»
- •Случайные события. Вероятность.
- •Классический способ задания вероятности
- •Геометрический способ задания вероятности
- •Дискретный способ задания вероятности
- •Статистический способ задания вероятности
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Лекция №2 Свойства вероятностей. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •Лекция №3 Случайные величины. Функции распределения случайных величин
- •Показательное распределение. Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , которое описывается функцией плотности вероятности:
- •Лекция №4. Нормальное распределение.
- •Лекция 5. Предельные теоремы и законы больших чисел
- •Лекция №7. Предмет математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационные ряды и их характеристики
- •Лекция 8. Связь между генеральной и выборочной совокупностью.
- •Предельные ошибки и необходимый объем выборки (Повторный и бесповторный отбор)
- •Лекция №9. Проверка статистических гипотез.
- •Проверка гипотез о равенстве средних значений при известной и неизвестной дисперсии.
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей.
- •Лекция№10.Проверка статистических гипотез о законе распределения генеральной совокупности
- •Критерий согласия (хи- квадрат) Пирсона
- •Критерий согласия Колмогорова
- •Лекция №11. Основные понятия дисперсионного анализа
- •Однофакторный дисперсионный анализ
- •Понятие о двухфакторном дисперсионном анализе
- •Лекция№12. Корреляционно – регрессионный анализ
- •Свойства выборочного (статистического) коэффициента корреляции
- •Понятие о нелинейной регрессии, индекс корреляции и коэффициент детерминации
- •Вопросы
Задачи для самостоятельной работы
1. Взятая на удачу деталь может оказаться либо первого ( событие А), либо второго ( событие В), либо третьего ( событие С) сорта. Что представляют собой следующие события:
?
Решение.
- это событие, которое состоит при наступлении хотя бы одного из событий и . Следовательно, в нашем случае - деталь первого или второго сорта.
так как - деталь первого или третьего сорта, то противоположное этому событие
- деталь второго сорта.
- невозможное событие, поскольку деталь одновременно не может быть и первого и второго сорта.
сумма невозможного события и события равно , т.е. - деталь третьего сорта.
2. В урне 5 красных, 2 синих и 3 белых шара. Все они пронумерованы цифрами 1,2,....10. Из урны берется наудачу 1 шар. Событие - шар с четным номером - обозначим через А, с номером, кратным 3, - через В, шар красного цвета - через С, синего - через D и, наконец белого через Е. Что представляют собой следующие события:
;
;
;
;
;
?
3. Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равно 7. Ответ: .
4. В коробке 6 одинаковых пронумерованных кубиков. Из коробки наудачу по одному извлекают все кубики без возвращения. Найти вероятность того, что номера извлекаемых кубиков появятся в возрастающем порядке. Ответ: .
5. В коробке среди 40 лампочек 5 бракованных. Студент покупает пять лампочек. Найти вероятность того, что среди 5 купленных лампочек 2 бракованные. Ответ:
6. В магазин поступило 30 новых цветных телевизоров, среди которых 5 имеют скрытые дефекты. Наудачу отбирается один телевизор для проверки. Какова вероятность, что он не имеет скрытых дефектов? Ответ:
Определить вероятность события состоящего в том, что студенту придется ждать поезда
метров 10 секунд при условии, что интервал движения поездов составляет 3 минуты. Ответ:
8. Набирая номер телефона абонент забыл последние 3 цифры. Помня лишь то, что эти цифры различны, абонент набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. Ответ: .
Лекция №2 Свойства вероятностей. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Пусть для некоторого случайного эксперимента построено пространство элементарных событий Числовая неотрицательная функция удовлетворяет следующим свойствам:
Если события образуют полную группу событий, то вероятность объединения этих событий равна единице:
Вероятность противоположного события:
Если событие влечет за собой событие , то вероятность события не превосходит вероятность события , т.е.
Пусть и - наблюдаемые события в эксперименте , причем . Условной вероятностью осуществления события при условии, что событие произошло в результате данного эксперимента, называется величина, определяемая равенством:
Теорема сложения:
Пусть событие -совместные события. Тогда вероятность их объединения вычисляется по формуле:
.
Теорема умножения :
Вероятность произведения событий равна произведению вероятностей событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие имели место:
Формула полной вероятности. Формула Бейеса (теорема гипотез)
Пусть случайный эксперимент можно описать событиями которые являются попарно несовместными и Такие события называют гипотезами . Предполагается, что событие может произойти с одной из гипотез .
Теорема: Вероятность любого события , которое может произойти с одной из гипотез
будет равна сумме произведений вероятностей гипотез на условную
вероятность события :
- формула полной вероятности.
Пусть случайный эксперимент можно описать попарно несовместными событиями объединение которых образует пространство элементарных событий Событие может произойти с одной из гипотез. Предполагается, что в результате эксперимента произошло событие . Как изменится вероятность гипотез при этом? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.
Теорема: Пусть событие может произойти с одной из гипотез
Которые описывают случайный эксперимент. Если в результате реализации
эксперимента произошло событие , то вероятность гипотез вычисляются по
следующим формулам :
- формулы Байеса.
Тесты для самоконтроля:
1. Суммой двух событий и называют:
событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих или событию или ;
событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих или событию или ;
событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию и ;
событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию и ;
событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию и ;
2. Произведением двух событий и называют:
событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих или событию или ;
событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих или событию или ;
событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию и ;
событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию и ;
событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию и ;
3.Вероятность суммы двух совместных событий равна:
Вероятность произведения двух совместных событий рана:
Формула полной вероятности:
Задачи для самостоятельной работы
В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых 3 в твердом переплете. Библиотекарь наудачу взял 2 учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в твердом переплете.
Решение :
Пусть - первый взятый учебник имеет твердый переплет, - второй учебник имеет твердый переплет.
Вероятность того, что первый учебник имеет переплет
Вероятность того, что второй учебник имеет твердый переплет, при условии, что первый взятый учебник был в переплете, т.е. условная вероятность события
Искомая вероятность того, что оба учебника имеют переплет, по теореме умножения вероятностей зависимых событий равна
.
Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным 2,
либо 5, либо тому и другому одновременно. Ответ: 0,6.
В продукции часового завода брак составляет 5% от общего количества выпускаемых
часов. Для контроля отобрано 20 часов. Какова вероятность того, что среди них имеется хотя бы одни часы с браком? Ответ :
В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 3
человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами. Ответ:
В некоторую торговую точку поступает определенного вида товар от двух
производителей. Известно , что первый производитель поставляет 40% этого товара, а второй – 60%. Опыт показывает, что, как правило, 2% изделий первого производителя содержат брак а для второго производителя брак составляет 3%. Определить вероятность того, что случайно отобранное изделие содержит брак.
Решение
- событие, состоящее в том, что отобрано изделие, содержащие брак. Это событие может
произойти с одним из событий , которое состоит в том, что изделие поставлено
поставщиком. Определим вероятности этих событий:
Условная вероятность будет равна:
Вычислим вероятность события , используя формулу полной вероятности.
Ответ: 0,026.
Находясь в условиях этой же задачи, предположим, что выбранное изделие содержит брак и определим вероятность того, что это изделие поставил первый поставщик. Воспользуемся формулами Байеса в виде:
Ответ: 4/13.
Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема
проверки такова, сто с вероятностью 0,95 обнаруживают дефект (если он есть), и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Какова вероятность того, что случайно выбранный из партии транзистор будет признан дефектным? Ответ: 0,122.
В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит
20% телевизоров со скрытым дефектом, второго –10%, третьего – 5%. Какова вероятность приобрести неисправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров с первого завода, 20% - со второго, 50% - с третьего? Ответ: 0,895