2.3. Первый замечательный предел.

= 1 (первый замечательный предел).

Доказательство:

Ранее было доказано, что sin x < x < tg x при 0 < x < . Разделив на sin x, получим 1 < < . Отсюда cos x < < 1 при 0 < x < . Входящие в эти неравенства функции - чётные, поэтому эти неравенства верны также при - < x < 0. При x  0 cos x  1, так как сos x - непрерывная функция. Следовательно, по теореме о двух милиционерах  1 при х  0, что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

2.4. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности сложной функции.

Если t = (x) непрерывна в точке а (а) = b, и функция f(t) непрерывна в точке b, то сложная функция f( (x)) непрерывна в точке а.

Доказательство:

По определению непрерывности нужно доказать, что  > 0  > 0: | f( (x)) - f( (a)) | <  при

| x - a | < .

Зададим произвольное  > 0.

Так как f(t) непрерывна в точке b, то  > 0: | f(t) - f(b) | <  при | t - b | < . Отсюда следует, что

| f( (x)) - f( (a)) | <  при |  (x) -  (a) | < . (1)

В свою очередь, так как  (x) непрерывна в точке a,

то для указанного   > 0: |  (x) -  (a) | <  при | x - a | < .(2)

Из (1) и (2) следует, что | f( (x)) - f( (a)) | < , если | x - a | < , что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

2.5. Сформулируйте и докажите теорему о существовании предела по Гейне как следствие существования предела по Коши.

2.6. Сформулируйте и докажите критерий Коши существования предела функции.